עזרה בפתרון 2 תרגילים בחדו"א 1

[Ido.G]

שלום,

אני מנסה לפתור שאלות ממבחנים בחדו"א. יש 2 שאלות שאני לא מבין. אשמח אם מישהו יעזור לי.

אני שונא את הסגנון הזה של שאלות...

התרגילים פה: http://www.planetnana.co.il/ido_gal/index.htm

תודה מראש!!

[miaoo673]

פתרון לראשון

הסבר:

גזרנו את הפונקציה לפי ההגדרה ולאחר מכן גזרנו כרגיל. השווינו את שתי הנגזרות והגדרנו את x ו-n לפי t ו-h בהתאמה. לבסוף הסתמכנו על הגדרת הלוגריתם הטבעי ובזאת סיימנו.

[Ido.G]

תודה רבה.

הבנתי...למרות שאני בספק שאני אצליח לחשוב על כל חוקי הלוגריתם האלה ועל ההצבות בזמן המבחן.

[llime]

שאלה מס' 3 היא קצת טריקית. קודם כל שמים לב כי הגבול של המונה הוא אפס.הסבר: אם זה היה מספר ממשי שונה מאפס אז גבול השבר היה אינסוף או מינוס אינסוף, ואם גבול המונה הוא אינסוף או מינוס אינסוף אז גם אז גבול השבר היה +- אינסוף. לכן יש לנו שבר מסוג אפס חלקי אפס. ומותר לעשות לופיטל. נגזור ונקבל :f'(x) =5 לכל x ובפרט עבור X=3 .מכאן ש f(x) =5x+c. ע"מ למצוא את c נזכור כי

גבול המונה הוא אפס ,כלומר :lim f(x)+c +1 =0 כאשר x->3 .מאחר ולפי הנתון f רציפה ניתן להציב x=3 . כלומר חמש כפול שלוש + c + 1 =אפס. ולכן : c=-16 .מכאן:f(x)= 5x-16. הצבת x=3 תיתן f(3)= -1

[ofir_yair]

llime, פתרון נחמד, רק תיקון זעיר: f'(x)=5 לא נכון לכל x אלא רק ל-x=3 כי את לופיטל ניתן להפעיל רק אם במונה ובמכנה הפונקציות רציפות, ואת זה נתנו רק לגבי הנקודה x=3. חוץ מזה השאר נראה סבבה.

הנה הצעת פתרון נוספת, עם שימוש בהגדרות בלבד, ללא שימוש בלופיטל.

שאלה לפותח הת'רד: AVATAR=עידוא גל?

[attachment deleted by admin]

[llime]

אופיר, נראה לי שאתה צודק בהערה שלך, אבל לא ברורה לי השורה השניה של הפיתרון שלך. יוצא שהשתמשת במשפט שגבול של מנה שווה למנת הגבולות. וזה נכון רק במקרה שגבול המכנה אינו אפס. מהיכרותי עם פיתרונותיך קשה לי להאמין שטעית ,אז אודה לך אם תאיר את עיני ותפרט ביותר שלבים את השורה השניה.כאמור ,על פניו,הזהות בין שני השוויונות שגויה.

[Ido.G]

הבנתי, תודה.

מה שאני לא מבין, זה למה בעצם מותר לך לכפול במשהו שנמצא בתוך ה lim (אופרטור הגבול). הוא "עובד" על כל השבר בעצם- למה ניתן להוציא אותו החוצה?

וכן, זה עידוא.

האם מדובר על אופיר מפוטו?

[llime]

מה שאני לא מבין, זה למה בעצם מותר לך לכפול במשהו שנמצא בתוך ה lim (אופרטור הגבול). הוא "עובד" על כל השבר בעצם- למה ניתן להוציא אותו החוצה?

מותר לו "לפרק" את השבר לשני גבולות לפי משפט גבול של מנה, אך כמו שכתבתי, זה נכון רק כאשר גבול המכנה שונה מאפס.

[ofir_yair]

יוצא שהשתמשת במשפט שגבול של מנה שווה למנת הגבולות. וזה נכון רק במקרה שגבול המכנה אינו אפס.

הטענה שלך נכונה, אבל לא השתמשתי במשפט הזה, שכן גבול המנה הרי נתון בשאלה, ולכן לא השתמשתי בו על מנת לחשב את גבול המנה. אולם בכל מקרה את "אופרטור" הגבול הרי לא ניתן לחשב רק אחרי תוצאת חישוב המנה. ולכן אם הוא קיים (כמו שנתון בשאלה) הוא בהכרח מנת הגבולות (עדיין ברישום גבול, ולא הצבת ערך הגבול - הבדל דק אבל קריטי) של המונה והמכנה. כמובן שבמקרה בו גבול המכנה הוא 0 לא ניתן לחשב את מנת הגבולות (לא מוגדר) אך עדיין ניתן להשתמש בערך הגבול (תחשוב על זה כעל מספר מספיק קרוב ל-0, אבל לא ממש 0, או בקיצור אפסילון) ולהכפיל בו את שני האגפים ולכן למעשה את כל הפעולות שאני מבצע אני לא מבצע על 0, כלומר לא מחלק או כופל באפס אלא במספר קרוב ל-0, ורק בסוף מחשב את הגבול. כמובן שכל הפעולות הללו ניתן לעשות רק מכיוון שנתון שקיים גבול למנה, אחרת לא ניתן לפעול כך.

וכן, אופיר מפוטו, איזה קטע למצוא אותך כאן, לא ידעתי שאתה כזה משתמש וותיק פה. מה לומד?

[attachment deleted by admin]

[llime]

הטענה שלך נכונה, אבל לא השתמשתי במשפט הזה, שכן גבול המנה הרי נתון בשאלה, ולכן לא השתמשתי בו על מנת לחשב את גבול המנה. אולם בכל מקרה את "אופרטור" הגבול הרי לא ניתן לחשב רק אחרי תוצאת חישוב המנה. ולכן אם הוא קיים (כמו שנתון בשאלה) הוא בהכרח מנת הגבולות (עדיין ברישום גבול, ולא הצבת ערך הגבול - הבדל דק אבל קריטי) של המונה והמכנה. כמובן שבמקרה בו גבול המכנה הוא 0 לא ניתן לחשב את מנת הגבולות (לא מוגדר) אך עדיין ניתן להשתמש בערך הגבול (תחשוב על זה כעל מספר מספיק קרוב ל-0, אבל לא ממש 0, או בקיצור אפסילון) ולהכפיל בו את שני האגפים ולכן למעשה את כל הפעולות שאני מבצע אני לא מבצע על 0, כלומר לא מחלק או כופל באפס אלא במספר קרוב ל-0, ורק בסוף מחשב את הגבול. כמובן שכל הפעולות הללו ניתן לעשות רק מכיוון שנתון שקיים גבול למנה, אחרת לא ניתן לפעול כך.

וכן, אופיר מפוטו, איזה קטע למצוא אותך כאן, לא ידעתי שאתה כזה משתמש וותיק פה. מה לומד?

אכן, אתה צודק. למעשה היית יכול לנסח זאת בצורה פשוטה יותר אפילו כמשפט: " אם קיים גבול סופי של מנת פונקציות ,וקיים גם גבול סופי למונה, הרי שקיים גם גבול סופי למכנה ". הוכחה טריויאלית בדרך השלילה. לכן אפשר להכניס את הגבול לתוך השבר ולהציגו כמנת גבולות.

[ofir_yair]

אם קיים גבול סופי של מנת פונקציות ,וקיים גם גבול סופי למונה, הרי שקיים גם גבול סופי למכנה

לא לגמרי מדויק. למשל אם קיימת פונקציה ששואפת ל-0 במונה למשל 1 חלקי x^2, (כאשר x שואף לאינסוף), וידוע שגבול המנה הוא 0, זה לא אומר שגבול המכנה הוא סופי, במקרה הזה הוא יכול להיות אפילו x, ועדיין כל תנאי המשפט שכתבת נכונים, אבל גבול המכנה אינו סופי.

אבל אם אתה עדיין מעדיף הסבר במשפט על פני הסבר מפורט: אם קיים גבול (במובן הצר- כלומר גבול סופי) לביטוי תחת lim וגם למכנה בביטוי קיים גבול במובן הצר, אז בהכרח גם המונה בביטוי יתכנס לגבול במובן הצר.

אבל זהו, מבטיח להפסיק לחפור, נראה לי שכולנו כבר הפנמנו את הרעיון.

[Ido.G]

הופה.

מה קורה? איך בטכניון?

אמרתי לך שאני בפורומים של hwzone...אני חושב.

ותודה, ד"א. הבנתי את הרעיון. נקווה לטוב.