שתי שאלות בגיאומטריה - משפט פיתגורס -- צריך עזרה רק ב2 עכשיו

[miaoo673]

מכיוון שפגענו בנקודת ההשקה (גם של המעגל הגדול וגם של הקטן) למעשה עברנו גם דרך מרכז המעגל הקטן.

אין סימוכין לכך שהרדיוסים מתלכדים דרך נקודת ההשקה. גם אני חשבתי כך תחילה (בעיקר בגלל השרטוט המטעה) אבל זה פשוט לא נכון

רעיון אחר - אולי אפשר להעזר במשולש DOC עקב היותו שווה צלעות, כאשר O היא נקודת החיתוך של המעגלים הגדולים.

[amit_amit]

אין סימוכין לכך שהרדיוסים מתלכדים דרך נקודת ההשקה. גם אני חשבתי כך תחילה (בעיקר בגלל השרטוט המטעה) אבל זה פשוט לא נכון

רעיון אחר - אולי אפשר להעזר במשולש DOC עקב היותו שווה צלעות, כאשר O היא נקודת החיתוך של המעגלים הגדולים.

הם כן בגלל שהמשיק למעגל מאונך לרדיוס => עובר שם כבר רדיוס => שהרדיוס הוא ב90מעלות (אני חושב)

[ofir_yair]

הם כן בגלל שהמשיק למעגל מאונך לרדיוס => עובר שם כבר רדיוס => שהרדיוס הוא ב90מעלות

כל אנך למשיק המעגל בנקודת ההשקה עובר דרך מרכז המעגל, נקודת ההשקה משותפת לשני המעגלים => שני הרדיוסים מתלכדים, והמשכם עובר דרך שני המרכזים.

sjkpo, אם אתה טוען שמשהו הוא לא נכון, צריכה להיות לך סיבה טובה למה, נימוק הגיוני ששולל את הטענה, ולא, אי הבנת נכונות הטענה אינה סיבה מספיק טובה לשלילתה.

לפותח השירשור, מקווה שאתה הבנת את הפיתרון, סה"כ הוא בא לעזרך. אם לא הבנת משהו מפרטיו פשוט תשאל.

[hedva]

כל הכבוד

[Burned]

אז ככה (מזהיר מראש, אולי פיתרון קצת מתוסבך, ממליץ לעקוב לאט אחרי ההסבר ולסמן אותיות ובניות עזר כפי שפירטתי):

משרטטים קו מלמשל נקודה C כך שתעבור דרך נקודת ההשקה בין המעגל הקטן לרבע הגדול, עד שיפגע בצלע הריבוע. מכיוון שפגענו בנקודת ההשקה (גם של המעגל הגדול וגם של הקטן) למעשה עברנו גם דרך מרכז המעגל הקטן. נקרא לנקודת ההשקה M, ולנקודת הפגיעה בריבוע (צלע AD) נקרא P.

קל לראות ש-CM=a שכן הוא רדיוס המעגל הגדול כמו ש-CD היא רדיוס המעגל הגדול השווה ל-a.

נסמן את מרכז המעגל הקטן ב-O. לכן CO=a-r. נוריד אנך מנקודה O לצלע CD (בגודל r כמובן) ונקרא לנקודת המפגש בין הרדיוס החדש לריבוע N. כמובן ש-CN=a/2 (נובע מסימטריית הציור, ניתן לבנות בניית עזר דומה לראשונה שעשינו בתחילת התרגיל מהצד השני, וליצור מש"ש DOC ש-ON גובהו ולכן גם תיכון).

כעת נבצע דימיון משולשים (מקווה שכבר למדת) בין משולש CON לבין CPD, כמובן שהם דומים (מספיק ששתיים מהזוויות שוות) ולכן יחסי הצלעות קבועים.

מייחסים אלו נסיק ש-CN/CD=CO/CP.

נבטא את היחס באותיות: CN=a/2, CD=a, ולכן היחס הוא חצי. ולכן CO=0.5*CP, ולכן CP=2a-2r (מקשר זה משוואה ראשונה) ובאופן דומה DP=2r.

משוואה שנייה: נביט במשולש CDP: משפט פיתגורס: CD^2+DP^2=CP^2. ולכן a^2+(2r)^2=CP^2.

כעת נציב את CP מהמשוואה הראשונה בשנייה ונקבל את הקשר:

(2a-2r)^2=a^2+4r^2

מחילוץ r תקבל כמובן את הקשר r=3a/8

וואו תודה רבה על ההסבר המפורט לצערי לא למדתי דמיון משולשים :-X

אבל כל הכבוד, עשית עבודה מעולה

[ofir_yair]

על לא דבר...

השתמשתי בדימיון משולשים כדי להראות יחס של 1 ל-2, אולם לא הכרחי להשתמש בדימיון.

עפ"י אותם סימונים בציור, נבצע בניית עזר נוספת: מנקודה O נשרטט קו מקביל ל-CD עד לפגיעה בצלע הריבוע AD, ונסמן נקודה זו ב-T

כעת ניתן לחפוף את המשולשים CON ואת PTO (ז.צ.ז) כדי לקבל את אותם נתונים מדימיון המשולשים. שוב דימיון אינו הכרחי, הוא רק מקצר מעט.

[Hwzne]

לא יותר פשוט לעשות משפט פיתגורס במשולש הקטן?

[ofir_yair]

Hwzne, מקבל לגמרי את הפישוט , הצעה מבורכת בהחלט!

אכן אחרי שמצאנו OC=a-r, ON=r, CN=a/2, משפט פיתגורס שם:

(a/2)^2+r^2=(a-r)^2

ואכן שוב יתקבל הקשר הרצוי.