בעיה שאני מנסה להוכיח באינדוקציה...

[Dimka]

אני מנסה להוכיח משהו אבל 3 יחידות במתמטיקה מקשות עליי -

יש לי את הפונקציה הבאה

f(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n)

אני רוצה להוכיח שנגזרת הפונקציה בנקודה 0 היא n עצרת

f'(0) = n!

לפי הבדיקה שלי היא n! כאשר n הוא זוגי ומינוס n! כאשר הוא שלילי.

זה מה שעשיתי באינדוקציה, משהו מתפקשש לי:

x(x-1)(x-2)...(x-k) = k!
x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k-1) = (k+1)!= k!*(k+1)
מצמצם...
f'(0) = (x-k-1) = (k+1)
= (0-k-1) = (k+1)
-k-1 = k+1

אני מבין שאני צריך איכשהו להראות ש-k+1 הוא אמור לקבל מינוס... (לפחות אז זה מסתדר)

תודה

[Gil28]

את השורה הזאת:

x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k-1)

תחליף ב:

x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k+1)

[Dimka]

למעשה:

(x-(k+1)) = (x-k-1)

לכן מה שהצעת נראה לא חוקי... או שאני מפספס משהו.

תועיל להסביר?

[Gil28]

כנראה שלא עקבתי טוב. גם לי יוצא כאילו זה !n או !n- לסירוגין. תבדוק עבור n=2 ו-n=3

[שניצל]

הנגזרת אכן אמורה להיות !n כפול 1- בחזקת n (פשוט תבדקו עבור ערכים קטנים של n וזה יהיה ברור).

תחשבו איך למצוא קשר בין הנגזרת של f עם n=k והנגזרת של f עם n=k+1 (הנגזרת בכלל, לא הנגזרת ב-0). חוץ מזה שאפשר להוכיח את זה גם לא באינדוקציה, אבל קצת בנפנופי ידיים.

[Ariel_tangi]

למחוק

[Dimka]

תודה שניצל, זה עוזר!

[llime]

ההוכחה באינדוקציה היא פשוטה למדי אם משתמשים בנגזרת של מכפלת פונקציות.

[Dimka]

תודה על ההשקעה,

אכן עשיתי את זה בצורה דומה, אבל בסוף התייחסתי לקשר כמו שהצגתי מקודם (בתוספת איבר 1- בחזקת n). צמצמתי לפי הנחת האינדוקציה ונותרתי עם שוויון:

f'(0) = x(x-1)...(x-k)(x-k-1) = (-1)^(k+1) * (k+1)!
f'(0) = x(x-1)...(x-k)(x-k-1) = (-1)^(k) * k! * (-1) * (k+1)
f'(0) = (x-k-1) = (-1) * (k+1)
-k-1 = -k-1