למתמטיקאים שבינינו, השוואת פולינומים בשני משתנים

[AvIAToR]

שלום לכולם,

בהינתן שני פולינומים בשני משתנים, נגיד עד מעלה 5 עם מקדמים ממשיים, ובתחום מסויים, איזה שיטות קיימות להשוואה ביניהם, אם בכלל קיימת שיטה כזאת (הכוונה לשיטות שהן לא סטנדרטיות למי שלא לומד תואר במתמטיקה).

מצורפת דוגמה שבה נתון הפולינום הגדול יותר אך צריך להוכיח זאת מתמטית, איך אפשר לעשות זאת?

מודה מאוד על כל עזרה

[attachment deleted by admin]

[AvIAToR]

:

מישהו?

[שניצל]

תסביר מה הכוונה ב"גדול יותר". פולינום הוא הרי לא מספר, אלא פונקציה.

האם הכוונה ב-"p גדול מ-q" היא ש-(p(x) > q(x לכל x?

אם כן, אז מה שצריך לעשות זה לחסר בין הפולינומים ולהשוות ל-0. כלומר: מסתכלים על הפולינום (p(x) - q(x. אם הוא תמיד גדול מ-0 אז p תמיד גדול מ-q, ואם הוא תמיד קטן אז בדיוק להיפך.

[AvIAToR]

קודם כל תודה על התגובה

הכוונה גדול יותר בתחום מסויים, נגיד בתחום שבו המשתנים חיוביים או שניהם גדולים מחצי ו- P1>P2 כמו בדוגמה כך שיוצא מעין משולש במישור xy שהם P1,P2.

לגבי שיטת החיסור, הרי זוהי בדיוק הבעייה, מקבלים פונקציה/פולינום בשני משתנים עם מעלות גבוהות (עד 5), וצריך להוכיח שהיא חיובית בתחום הנתון, ואין לי מושג איך עושים את זה.

הדבר הכי קרוב שאני חושב עליו זה מה שלמדתי בחדו"א 2, למצוא נקודות קיצון בתוך התחום ועל השפה ולבדוק שהמינימום חיובי, אבל גם כאן עדיין יישאר לי פולינום ממעלה אחת פחות (4).

OFFTOPIC: רק אצלי לא יורד שורה וצריך כל פעם לערוך באמצעות עריכה מהירה? איך אפשר לתקן את זה?

[Dubliner]

מה שכתבת זו בדיוק השיטה כאשר עקרונית אתה צודק בזה שבמקרה הכללי ביותר אתה לא תוכל למצוא פתרון אנליטי לדבר כזה (בשביל זה המציאו שיטות נומריות ומחשבים...).

בד"כ אם זה תרגיל ממבחן או תרגיל בית בלימודים בונים את הפולינומים ככה שכן תוכל למצוא פתרון בדרך הסטנדרטית של מציאת נקודות קיצון. ברגע שמצאת נקודת קיצון (p1,p2) של הפונקציה שהיא הפרש הפולינומים, מספיק לחשב את ערך הפונקציה באותה נקודה ולוודא שהוא חיובי/שלילי (תלוי את מי חיסרת ממי ואם אתה מחפש מינימום או מקסימום).

קיימות שיטות נוספות של אופטימיזציה, שמאפשרות לך בד"כ למצוא קירוב לפתרון. הדוגמא הכי בסיסית למציאת נקודת קיצון בשיטה נומרית היא אלגוריתם ה-gradient descent שזו שיטה שאתה יכול לפתור גם ידנית בלי מחשב.

הרעיון הוא כזה: תחשוב על הפונקציה שלך כמשטח ויש כדור שמתגלגל עליו. אם המשטח חלק (קמור) אז לא משנה איפה תשים את הכדור בהתחלה, הוא יתגלגל לכיוון הנקודה הנמוכה ביותר. בשיטה הזו אתה מתחיל מנק' כלשהי ובוחר גודל צעד. אתה מחשב את הגרדיאנט באותה נקודה וכמו שאתה זוכר מחדוא 2 הגרדיאנט מצביע לכיוון הירידה התלולה ביותר (הכיוון בו הגרידאנט הכי שלילי). אתה מתקדם לכיוון הנקודה הזו ומחשב גם שם את הכיוון החדש שבו הירידה הכי תלולה. ככה אתה מתקדם כל הדרך עד למטה כאשר אתה עוצר ברגע שאתה מגלה שהגעת לנקודה שממנה אפשר רק לעלות.

טוב, אז אחרי כל החפירה הזו, רוב הסיכויים שזה קצת מעבר למה שאתה צריך אבל אולי יום אחד תמצא את זה שימושי...