שאלות הוכחה אשמח לעזרה!

1) נתונים שני פולינומים F,G כך שאין להם שורש משותף ואף אחד מהם אינו מתחלק בשני. האם F,G חייבים להיות זרים?

2)נתונים פולינומים F,G DEG F=2 כך שאין להם שורש משותף ואף אחד מהם אינו מתחלק בשני. האם F,G חייבים להיות זרים?

תודה!

מה הכוונה ב"שורש משותף"? רק שורש ממשי או שגם שורש מרוכב?

שורש משותף ז"א שיש להם את אותו מאפס,אם אתה שואל אם הוא חייב להיות רציונלי או לא את זה אני לא יודע.

לא אמרתי רציונלי, אמרתי ממשי.

בכל מקרה אני אצא מנקודת ההנחה שמדובר בשורש ממשי.

תחשוב מה זה אומר ש-f ו-g לא זרים, ואם פולינום כלשהו מחלק פולינום אחר מה זה אומר על הקשר בין השורשים שלהם.

הענין הוא שלא הבנתי מה זה אומר שפולינום אחד לא מחלק את השני

אותו פולינום שנכתב כך :

a + bx + cx^2 + .... = 0

יכול להיכתב כך :

(x-x1) (x-x2) ..... = 0

כשכותבים את 2 הפולינומים בצורה השניה, ניתן לדבר על חילוק ביניהם. וזה אומר גם משהוא על השורשים.....

אוקיי הבנתי שהתשובה ל1 זה כן בגלל שאין להם לא שורש משותף ולא ניתן לחלק בינהם.

בשאלה 2 זה אותו מקרה רק שהמעלה נתונה כ2 בF. איך זה משנה/לא משנה את התשובה?

אם הבתי נכון פולינומים זרים = פולינומים שאין להם "(x-xn)" משותף

אז לא הבנת נכון.

קודם כל, כמה הגדרות:

1. פולינום f מחלק את פולינום g אם קיים פולינום h כך ש g=f·h.

2. מחלק משותף של שני פולינומים הוא פולינום המחלק את שניהם.

3. פולינומים הם זרים אם המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם (מבחינת דרגת הפולינום) הוא 1.

אם לשני פולינומים יש שורש משותף אז גם יש להם מחלק משותף (x-x1), אבל הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון, כי המחלק המשותף לא חייב להיות פולינום מדרגה 1.

אז לא הבנת נכון.

קודם כל, כמה הגדרות:

1. פולינום f מחלק את פולינום g אם קיים פולינום h כך ש g=f·h.

2. מחלק משותף של שני פולינומים הוא פולינום המחלק את שניהם.

3. פולינומים הם זרים אם המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם (מבחינת דרגת הפולינום) הוא 1.

אני מכיר את ההגדרות אבל איך זה עוזר לי להוכיח את השאלות?

אם ל 2 הפולינומים יש מחלק משותף, הוא בעצמו פולינום. אז הוא יכול להיות (x-xn) או מכפלה של כמה כאלה, אבל גם אם זה מכפלה של כנמה, עדיין כל אחד מהם הוא מחלק משותף לכל דבר (פשוט לא הגבוה ביותר)

שים לב שפולינום מתחלק לגורמים לינארים תמיד רק בשדות סגורים אלגברית (שדה הממשיים אינו כזה)כדי לשלול טענה, מספיק להביא דוגמא נגדית.

אני יודע שבכדי לשלול אני צריך להביא דוג' נגדית מצטער אבל אני פשוט לא מבין איך מה שאתם אומרים פה פותר לי את השאלה.

תחשוב על שני פולינומים שהמחלק המשותף שלהם הוא פולינום שאין לו שורשים ממשיים.

תחשוב על שני פולינומים שהמחלק המשותף שלהם הוא פולינום שאין לו שורשים ממשיים.

(x+sqrt2) ו (x^2-sqrt2)??