האם הסתמכות על גרף הפונקציה היא דרך מספקת לקביעה של התכונה הנ"ל

או שיש דרך פורמלית מתמטית?

יש דרך פורמלית, על סמך הגרף לא ניתן לקבוע.

פונקצית על זה אומר שלכל Y של הפונקציה ניתן למצוא X שמקיים אותו.

דוגמה 1:

אם יש לך הפונקציה X+1 שמוגדרת לכל X ששיך ל-R.

אז אתה רושם X+1=Y

X=Y-1, כאלה בוודאי קיימים כי אתה יכול להציב כל X שתרצה, לכן מדובר בפונקציית על.

דוגמה 2:

נשתמש בפונקציה X^2 (בריבוע).

נניח אני טוען ש-Y שלי הוא 2-.

כלומר X^2=-2, נחלץ את X:

X= שורש( 2-), אבל זה לא בתחום ההגדרה של שורש (מספר שלילי), לכן X^2 לא פונקציית על.

הניסוח הלוגי הפורמלי הולך כך:

לכל b ב-B קיים a ב-A כך ש f(a)=b

(כאשר A ו-B הם קבוצות, במקרה שלך אתה ודאי מתכוון ששניהם שייכים ל-R שהוא שדה הממשיים)

נתונה לי הפונקציה y=|x^2-4| zz

f: [0,inf) -> [0,inf) zz

אם הבנתי אותך נכון אז המטרה זה לבודד את x:

x^2-4=+-y

x^2=+-y+4

x=sqrt(+-y+4) zz

ומה אני עושה מפה?

אתה מדבר על שדה השלמים?

תראה (זה קל מאוד) שעבור כל Y בין 0 לאינסוף יש X בין 2 לאינסוף כך ש F(X)=Y.

אבל זה לא נכון

אם אני יקח את

x=sqrt(-y+4) zz

אז עבור y שגדולים מ-2 אני מקבל שורש שלילי

מה זה קשור למה שאמרתי?

אז לא עבור כל y בין 0 לאינסוף מקבלים x

מה הקשר בין הפונקציה המקורית לפונקציה שלך?

אתה מבין שהמעברים שביצעת לא מגדירים את X כפונקציה של Y, אלא אם אתה מקפיד לציין תחום הגדרה מדויק?

הפתרון שלך נכון, אבל כמובן יש חיבור "או" בין שני הפתרונות

לכל y או ש-

x=+-sqrt(+y+4)

או ש-

x=+-sqrt(-y+4)

ואז זה נכון להגיד שלכל y>0 קיים לפחות x אחד שמקיים לפחות אחת מהמשוואות

(בחלק מהמקרים, יהיו לך ארבעה x שונים לאותו y)

זה אגב לא נכון עבור y<0, ולא רואים את זה מהמשוואות הסופיות ל-x, אלא רואים את זה מההגדרה הראשונית של הפונקציה - y היא פונק' ערך מוחלט ולכן תמיד אי-שלילית.

כלומר באופן כללי, הפונקציה היא לא "על" המספרים הממשיים, אבל כן אפשר להגיד שהיא "על" המספרים הממשיים האי-שליליים.

אתה מבין שהמעברים שביצעת לא מגדירים את X כפונקציה של Y, אלא אם אתה מקפיד לציין תחום הגדרה מדויק?

תחום ההגדרה הוא:

אני יכול להגיד שעבור המקרה:

עבור כל y בתחום (אינסוף,0] קיים X בתחום (אינסוף,2]

ועבור המקרה

עבור כל y בתחום [0,4] קיים X בתחום [0,2]

ואיחוד של המקרים הללו יתן שעבור על y בתחום (אינסוף,0] נקבל X בתחום (אינסוף,0]

זה נכון?