אם נתונה לי פונקציה f החסומה על הקטע [a,b] ורציפה על (a,b) ,האם נכון לומר שהפונקציה g המוגדרת ע"י:

רציפה על [a,b] ואיך אני מוכיח זאת?? יתרה מכך, כדי לדבר על g בכלל יש להוכיח את קיום הגבולות החד צדדיים הללו! איך עושים זאת??

אני זקוק לטענה הזו לגבי g על מנת להשתמש בעובדה שהיא רציפה על קטע סגור ומכך להסיק שהיא אינטגרבילית דארבו שם, ובגלל שf נבדלת ממנה במספר סופי (2) של נק' אז גם f אינטגרבילית דארבו שם.

הבעיה היא שאת אינטגרביליות f על הקטע הסגור קשה להוכיח, כי היא לא בהכרח רציפה במידה שווה על [a,b] בניגוד לg הריציפה על הקטע הסגור ולכן ע"פ משפט קנטור היא רבמשי"ת שם [כך בדיוק מוכיחים אינטגרביליות של פונקציות רציפות על קטע סגור]

האם יש דרך פחות בעייתית להוכיח את אינטגרביליות f על הקטע [a,b]? ואם לא נראת אחת באופק כיצד אוכיח את הטענה בצורה ריגורוזית?

תודה מראש!!

הגבול של f לא בהכרח קיים ב-a וב-b.

קח לדוגמה את הפונקציה f(x)=sin1/x, ו-a=0 (לא משנה מה b). הפונקציה רציפה בקטע (a,b) וחסומה שם (בין 1- ל-1), אבל הגבול ב-0 לא קיים.

הגבול של f לא בהכרח קיים ב-a וב-b.

קח לדוגמה את הפונקציה f(x)=sin1/x, ו-a=0 (לא משנה מה b). הפונקציה רציפה בקטע (a,b) וחסומה שם (בין 1- ל-1), אבל הגבול ב-0 לא קיים.

נתון שf חסומה על הקטע הסגור מה שניתן להסיק ממנו קיום של f בנק' הקצה, לכן הדוגמא הנגדית שלך לא טובה. (זה הכל עניין של ניסוח השאלה)

סבבה, תגדיר את f להיות sin1/x עבור x>0, ו-0 עבור x=0.

הטיעון שלי עדיין עובד.

אוקיי, אכן דוגמא נגדית למהדרין, תודה.

האם יש למשהו כיוון להוכחת האינטגרביליות??

שוב תודה.