שאלה בליניארית .

[Yehudaa]

1. נניח את ההיפך - עבור כל v, מתקיים A^2*v = 0.

2. מכאן שעבור כל מטריצה X מסדר 3x3, מתקיים A^2 * X = 0

שניצל , איך אתה מסיק מ A^2*v = 0 נובע שלכל מטריצה A^2 * X = 0

הרי V זה וקטור , ו X זה מטריצה .

עריכה : הבנתי ...

סעיף בית

הוכח ש

{v , A*v , A*A*v }

בסיס של R^3 כלומר שהיא גם פורשת את R^3 וגם בלתי תלויה

[שניצל]

נוכיח שהקבוצה הנ"ל בלתי תלויה, ע"י שלילה.

נניח שהקבוצה תלויה לינארית, כלומר קיימים סקלרים x,y כך ש-

v + x*A*v + y*A*A*v = 0

נכפול את שני הצדדים משמאל ב-A^2, ונקבל:

A^2*v + x*A^3*v + y*A^4*v = A^2*0 = 0

כיוון ש-A^3=0, המשוואה הנ"ל מצטמצמת ל-

A^2*v = 0

וזה סותר את הנתון. מכאן שהקבוצה בלתי תלויה לינארית.

וכמובן, קבוצה בלתי תלויה לינארית שהיא בגודל המרחב היא פורשת, ולכן היא בסיס.

[Yehudaa]

[llime]

(מה שלא מסתדר לי הוא שהנתון האחרון מיותר)

הנתון האחרון רלוונטי רק לסעיף ב', כפי שהוכחת בעצמך...

[שניצל]

כמובן, פשוט לא הייתי מודע לקיומו של סעיף ב'.