1. נניח את ההיפך - עבור כל v, מתקיים A^2*v = 0.

2. מכאן שעבור כל מטריצה X מסדר 3x3, מתקיים A^2 * X = 0

שניצל , איך אתה מסיק מ A^2*v = 0 נובע שלכל מטריצה A^2 * X = 0

הרי V זה וקטור , ו X זה מטריצה .

עריכה : הבנתי ...

סעיף בית

הוכח ש

{v , A*v , A*A*v }

בסיס של R^3 כלומר שהיא גם פורשת את R^3 וגם בלתי תלויה

נוכיח שהקבוצה הנ"ל בלתי תלויה, ע"י שלילה.

נניח שהקבוצה תלויה לינארית, כלומר קיימים סקלרים x,y כך ש-

v + x*A*v + y*A*A*v = 0

נכפול את שני הצדדים משמאל ב-A^2, ונקבל:

A^2*v + x*A^3*v + y*A^4*v = A^2*0 = 0

כיוון ש-A^3=0, המשוואה הנ"ל מצטמצמת ל-

A^2*v = 0

וזה סותר את הנתון. מכאן שהקבוצה בלתי תלויה לינארית.

וכמובן, קבוצה בלתי תלויה לינארית שהיא בגודל המרחב היא פורשת, ולכן היא בסיס.

(מה שלא מסתדר לי הוא שהנתון האחרון מיותר)

הנתון האחרון רלוונטי רק לסעיף ב', כפי שהוכחת בעצמך...

כמובן, פשוט לא הייתי מודע לקיומו של סעיף ב'.