הוכיחו או הפריכו ע"י דוגמא נגדית:

אם (f(x גזירה בנקודה x0 ו-(g(x אינה גזירה בנקודה x0 אזי גם (f(x) + g(x אינה גזירה בנקודה x0.

לא הצלחתי לחשוב על דוגמא נגדית. :-\

כיצד מוכיחים את המשפט במידה והוא נכון?

תגדיר את הפונקציה (h(x) = f(x) + g(x.

תניח בשלילה ש-(h(x גזירה ב-x0, ומכאן הדרך להוכחה.

תחפש הוכחה לזה שהנגזרת של h זה הנגזרת של g ועוד הנגזרת של f.

זה משפט מוכר ויש את הוכחה שלו במליון מקומות ואז סיימת...

f(x)=c; g(x)=1/x; x0=0

תחפש הוכחה לזה שהנגזרת של h זה הנגזרת של g ועוד הנגזרת של f.

זה משפט מוכר ויש את הוכחה שלו במליון מקומות ואז סיימת...

אבל לא חסרות דוגמאות בהן f ו-g שתיהן לא גזירות בנקודה מסוימת, ודווקא פונקציית הסכום f+g כן גזירה באותה נקודה. כיצד המשפט הנ"ל מוכיח את ההיפך בהינתן פונקציה לא גזירה אחת?

f(x)=c; g(x)=1/x; x0=0

h(x) = g(x) + f(x) = 1/x + c

h'(x) = -1/x^2

לא גזירה בx0=0.

גרר.

נניח ש-(h(x גזירה ב-x0.

אז גם (g(x גזירה ב-x0, כיוון ש-(g(x) = h(x) - f(x.

שוב, יכול להיות מקרה שונה, נגיד: f(x) = 1/x ו-g(x) = -1/x,

שתיהן לא גזירות בx0 = 0.

לפי אריתמטיקה של גבולות ניתן להסיק לשיטתך ש(h(x לא גזירה בנקודה. אבל עובדה שזה לא נכון.

אבל השאלה שלך דורשת ש-(f(x כן תהיה גזירה ב-x0. ולכן הדוגמה הזו לא רלוונטית.

כאמור, אתה יכול לבודד את הפונקציה הגזירה f באגף אחד ולקבל שגבול הנגזרת שלה קיים - למרות שהוא שווה להפרש גבולות לא קיימים. סתירה.

לא הבנתי.

ההגדרה של נגזרת של סכום היא מאוד פשוטה:

אם f גזירה בנקודה x0, וגם g גזירה בנקודה x0, אזי הפונקציה h = f+g גזירה בנקודה x0, ומתקיים (h'(x0) = f'(x0) + g'(x0.

אותו דבר נכון גם לגבי הפרש פונקציות:

אם f גזירה בנקודה x0, וגם h גזירה בנקודה x0, אזי הפונקציה g = h-f גזירה בנקודה x0, ומתקיים (g'(x0) = h'(x0) - f'(x0.

אלו חוקי נגזרות.

עכשיו נלך לפי השאלה:

נתון - f גזירה ב-x0 ו-g לא גזירה ב-x0.

צ"ל - h לא גזירה ב-x0.

הוכחה באמצעות שלילה - נניח ש-h גזירה ב-x0. מכאן, שהפונקציה g = h-f גזירה ב-x0 (לפי המשפט השני הנ"ל) - סתירה. על כן h אינה גזירה ב-x0.

תודה רבה יואב!

וידאתי את התשובה שלך מול המתרגל וצדקת כל הזמן. שוב תודה!

חחחח...המממ...משום מה התרגיל נראה מוכר

אתה לומד בקורס של אלי להר באת"א?

אכן כן.