אני מנסה להוכיח משהו אבל 3 יחידות במתמטיקה מקשות עליי -

יש לי את הפונקציה הבאה

f(x) = x(x-1)(x-2)...(x-n)

אני רוצה להוכיח שנגזרת הפונקציה בנקודה 0 היא n עצרת

f'(0) = n!

לפי הבדיקה שלי היא n! כאשר n הוא זוגי ומינוס n! כאשר הוא שלילי.

זה מה שעשיתי באינדוקציה, משהו מתפקשש לי:

x(x-1)(x-2)...(x-k) = k!
x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k-1) = (k+1)!= k!*(k+1)
מצמצם...
f'(0) = (x-k-1) = (k+1)
= (0-k-1) = (k+1)
-k-1 = k+1

אני מבין שאני צריך איכשהו להראות ש-k+1 הוא אמור לקבל מינוס... (לפחות אז זה מסתדר)

תודה

את השורה הזאת:

x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k-1)

תחליף ב:

x(x-1)(x-2)...(x-k)(x-k+1)

למעשה:

(x-(k+1)) = (x-k-1)

לכן מה שהצעת נראה לא חוקי... או שאני מפספס משהו.

תועיל להסביר?

כנראה שלא עקבתי טוב. גם לי יוצא כאילו זה !n או !n- לסירוגין. תבדוק עבור n=2 ו-n=3

הנגזרת אכן אמורה להיות !n כפול 1- בחזקת n (פשוט תבדקו עבור ערכים קטנים של n וזה יהיה ברור).

תחשבו איך למצוא קשר בין הנגזרת של f עם n=k והנגזרת של f עם n=k+1 (הנגזרת בכלל, לא הנגזרת ב-0). חוץ מזה שאפשר להוכיח את זה גם לא באינדוקציה, אבל קצת בנפנופי ידיים.

למחוק

תודה שניצל, זה עוזר!

ההוכחה באינדוקציה היא פשוטה למדי אם משתמשים בנגזרת של מכפלת פונקציות.

תודה על ההשקעה,

אכן עשיתי את זה בצורה דומה, אבל בסוף התייחסתי לקשר כמו שהצגתי מקודם (בתוספת איבר 1- בחזקת n). צמצמתי לפי הנחת האינדוקציה ונותרתי עם שוויון:

f'(0) = x(x-1)...(x-k)(x-k-1) = (-1)^(k+1) * (k+1)!
f'(0) = x(x-1)...(x-k)(x-k-1) = (-1)^(k) * k! * (-1) * (k+1)
f'(0) = (x-k-1) = (-1) * (k+1)
-k-1 = -k-1