היי, אני עושה קורס באונ' הפתוחה בליניארית ויש שאלה בממ"ן שאני תקוע בה.

"תהי מטריצה ריבועית A מסדר n, המקיימת A^4=0

א. הראה כי (I - A) הפיכה, ו- = 1-^(I - A)

I+A+A^2+A^3

ב. הוכח או הפרך:

1. קיים x שונה מאפס כך ש- Ax=0

2. קיים x שונה מאפס כך ש- Ax =x

נמק..."

אני אודה מאוד לכל עוזר

עוד הבהרה:

בחלק ב' של השאלה המטרצה A היא אוצה מטריצה מסעיף א' או לא?

תודה.

לגבי א, תחשוב על כל המסקנות שנובעות מזה שמטריצה היא הפיכה (או לא הפיכה), ומה אפשר לעשות עם זה.

לגבי ב', בבירור מדובר באותה מטריצה, היא הרי מוגדרת בתחילת השאלה, לא בסעיף א'. חוץ מזה, אחרת לא היה לך שום מידע עליה ולא יכלת לומר עליה כלום.

נראה לי הגיוני להשתמש במשפט:

יהיו A ו B מטריצות ריבועיות מסדר n. אם AB=I אז A ו B הפיכות וגם:

A^-1 = B , B^-1=A

אני די בטוח שלמשוואה הזו:

= 1-^(I - A)

I+A+A^2+A^3

אפשר להגיע על ידי שימוש בנתון A^4=0 ובמשפט אבל אני באמת לא יודע איך, בבקשה כוונון.

תודה רבה.

בבירור צריך להשתמש בנתון A^4=0, זה הנתון היחיד שלך. ואכן צריך להשתמש במשפט הזה (שהוא בעצם ההגדרה למטריצה הפכית). הדרך הכי פשוטה להוכיח שמטריצה כלשהי X היא ההפכית למטריצה כלשהי Y היא להראות ש-XY=I.