שלום, לאחרונה החלנו ללמוד על פונקציות במתמטיקה, וחשבתי, אם אפשר לעשות קו בפונקציה, אולי אפשר, עם משוואה מאוד גדולה קשה ומסובכת, ליצור פונקציה בצורה של, דוב לדוגמא, או פרה, או כוכב. זאת אומרת, בצורה מסובכת, אבל בעלת היגיון וקיימת.

אתם יודעים אם אפשר? ואם אפשר, אז אתם יכולים לתת לי את המשוואה?

אפשר לקרב עד כמה שתרצה.

למדת מה זה פולינום? זו פונקציה מהצורה

y = a_n * x^n + a_{n-1}*x^(n-1) + ... + a1*x + a0

כאשר a_i הם מקדמים (במקרה שלנו ממשיים), וn- זו החזקה הגבוהה ביותר.

לכל קבוצת נקודות אפשר למצוא פולינום, בחזקה מספיק גבוהה, שעובר בכל הנקודות האלה.

תיתן נקודות מספיק צפופות ותקבל את הצורה שלך.

כמובן, מעשית אלה חישובים לא פשוטים כלל וכלל, ויש המון שיטות של קירובים נומריים שמשתמשים בהן כדי לפתור מערכות משוואות שכאלה. אז אל תצפה שמישהו כאן ייתן לך פונקצייה שמתארת פרה.

הערה: הכוונה כאן היא אך ורק לפונקציות, כלומר עקומות שעבור כל X קיים רק Y אחד. אם אתה מדבר על עקומות כלליות יותר, המצב מסתבך.

אפשר לקרב עד כמה שתרצה.

למדת מה זה פולינום? זו פונקציה מהצורה

y = a_n * x^n + a_{n-1}*x^(n-1) + ... + a1*x + a0

כאשר a_i הם מקדמים (במקרה שלנו ממשיים), וn- זו החזקה הגבוהה ביותר.

לכל קבוצת נקודות אפשר למצוא פולינום, בחזקה מספיק גבוהה, שעובר בכל הנקודות האלה.

תיתן נקודות מספיק צפופות ותקבל את הצורה שלך.

כמובן, מעשית אלה חישובים לא פשוטים כלל וכלל, ויש המון שיטות של קירובים נומריים שמשתמשים בהן כדי לפתור מערכות משוואות שכאלה. אז אל תצפה שמישהו כאן ייתן לך פונקצייה שמתארת פרה.

הערה: הכוונה כאן היא אך ורק לפונקציות, כלומר עקומות שעבור כל X קיים רק Y אחד. אם אתה מדבר על עקומות כלליות יותר, המצב מסתבך.

אוקיי..

אפשר את המשוואה המלאה?

יש מלא דברים מגניבים כאן:

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%9C:%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94/%D7%AA%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%94_%D7%A0%D7%91%D7%97%D7%A8%D7%AA/%D7%92%D7%9C%D7%A8%D7%99%D7%94

[attachment deleted by admin]

אתה בטח למדת שפונקציה לא יכולה להחזיר 2 ערכים לאותו מקור. אבל גרפים באופן כללי כן.

יכול להיות גרף מכל צורה, גם אם אין לו יצוג אנליטי.

מחזק את מה שמי שמעלי אמר - שים לב שבמקרה המדובר זוהי אינה פונקציה אלא איזשהו ביטוי מתמטי שמחזיר ערכים. פונקציה יכולה להחזיר ערך אחד ויחיד עבור כניסה נתונה, אבל שים לב שעבור כניסות שונות הפונקציה יכולה לתת אותם ערכים. למשל, אתה יכול לבדוק ולגלות שהפונקציה הריבועית

f(x) = x^2 - 3x+ 2

תקבל ערך 0 גם עבור x = 1 וגם עבור x = 2, אבל אני מבטיח לך שלא תמצא שני ערכים לפונקציה ((f(x) עבור x אחד ויחיד (לדוגמה, עבור x = 3 נקבל f(3) = 2 ואני מבטיח לך שאתה יכול לחפש הרבה מאוד זמן ללא הצלחה ערך נוסף ל-(f(3 עבור הפונקציה הזאת).

אכן - ובגלל זה עקומים (או משטחים, או גופים, אם מדובר במקרה תלת מימדי), באופן כללי, מתוארים ע"י משוואה (או מערכת משוואות) ולא פונקציה שכן משוואות יכולות להכיל אינסוף פתרונות עבור כל אחד מהמשתנים.

בנוסף, לשאלתך

אוקיי..אפשר את המשוואה המלאה?

"המשוואה המלאה" נתונה מעל הגרף (מימין למילים "polar plot"). כאן דווקא כן מדובר בפונקציה (שים לב שאין כאן שום שוויון), כאשר הפונקציה מקבלת זווית (t) ומחזירה מרחק. שים לב שהגרף הזה הוא לא במישור X-Y המוכר לך, אלא גרף פולארי - כלומר, הערכים היוצרים אותו הם זווית סיבוב ביחס ל0 והמרחק שיש ללכת בכיוון זה.

זה בטח ערוך, לא קיבלתי אותה תוצאה.

הרגע בדקתי - מקבלים בדיוק את מה שרואים. האם דאגת לבקש הצגה פולארית והגדרת את הטווח של t?

כן. קיבלתי פרח אבל לא מזוגזג

polarplot[(1+0.9cos[8t])(1+0.1cos[24t])(0.9+0.05cos[200t])(1+sin[t]),{t,-pi,pi}

?

היה חסר לי סוגריים ;D

יש עוד כאלה?

http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Gallery_of_curves

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_curves

לפותח הת'רד: אלו הן לא פונקציות, אלא עקומות, שזה משהו קצת יותר כללי.

הנה כמה ציורים נחמדים שעשיתי בעזרת תוכנת Mathematica על בסיס דוגמאות שהם נותנים ב- Help

הראשון זה עקום המתאר פתרון של משוואה טריגונומטרית פשוטה: cos(x)sin(y)+cos(y)sin(z)+cos(z)sin(x)=0

השני זה פונקציה רציונלית פשוטה שני משתנים: x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2) עם כמה טריקים בציור שלה.

והשלישי זה סתם סמטוחה אקראית.

[attachment deleted by admin]