תרגילים מדכאים:

1) תהי D פונקצית דיריכלה. הוכח כי הפונקציה

 f(x)=x*D(x)

רציפה ב0 ואינה רציפה בשאר R.

2) יהי I קטע פתוח, קרן פתוחה או כל הישר. תהיינה f,g פונקציות מI לR, רציפות במ"ש וחסומות בR.

הוכח כי f*g רציפה במ"ש ב I.

3) יהיו E,D תת קבוצות בR. תהי f פונקציה מD לE ותהי g פונקציה מE לR.

הוכח כי פונקצית ההרכבה (f מורכב על g זו האפשרות היחידה האפשרית כמובן) רציפה במ"ש.

4)יהי a>0 הוכח כי

f(x)=sin(1/x)

אינה רציפה במ"ש על הקטע הפתוח מאפס עד a (לא כולל בשתי הקצוות).

תודה מראש לעוזרים.

ב-1 אתה יכול להשתמש בעובדה שהמכפלה של סדרה חסומה בסדרה שמתכנסת ל-0 גם כן מתכנסת ל-0 (ואז תוכל להשתמש בהגדרת רציפות באמצעות סדרות). לחילופין, אתה יכול לפתור באופן ישיר באמצעות אפסילון ודלתא.

ב-2 ו-3 צריך לפתור באופן ישיר באמצעות אפסילון ודלתא.

וב-4 גם כן מומלץ להשתמש באפסילון ודלתא, אבל בשלילה (כלומר להראות שקיים אפסילון עבורו לכל דלתא יש x1,x2 שהמרחק ביניהם קטן מדלתא, אבל שההפרש בין ערכי הפונקציה עליהם גדול מדלתא).

תודה על ההתיחסות המהירה.

לגבי הסדרות, אנחנו לומדים במתכונת של SPIVAK כלומר, הסדרות יבואו לאחר שנדבר על פונקציות נגזרות וכו' לכן זה לא אקטואלי לפתור באמצעותן.

כל מה שאני יכול להשתמש בו זה באמצעות אפסילון ודלתא, וברור לי גם ש4 זה מה שאני צריר לעשות - לשלול לוגית את הרציפות במ"ש, הבעיה היא שאני לא מצליח, למשל ב4, למצוא כזה אפסילון! וכך גם בשאר הסעיפים. אשמח מאוד אם תסייע לי.

תודה

אז את 1 אתה יכול לפתור באמצעות אפסילון ודלתא. למעשה, זה יהיה קל באותה מידה כמו להוכיח שהפונקציה f(x)=x רציפה ב-0.

בקשר ל-4, תזכור שלכל מספר טבעי n, מתקיים sin(pi*(2n+1)=1 ו- sin(pi*(2n-1))=-1 (בחר לפי זה את x1 ו-x2).

אוקיי העזרה שלך ל4 הייתה מדויקת, אך אם נתבונן טוב, מה שצריך להוכיח זה שלכל a>0 קיימים N1 וN2 מספרים טבעיים כך שהמספרים הבאים (שהם יהיו x וy):

1/(2(N1)-1), 1/(2(N2)+1)

יהיו בתוך הקטע. נניח שהוכחתי את זה (משחק קטן עם הארכימדיות) אך כיצד אני מוכיח כעת שלכל דלתא הפרש המספרים הללו קטן מהדלתא??

יכול להיות שלא הבנתי נכון את הדרך שבישלת?

לגבי 1, את החלק הזה הצלחתי (בטעות העתקתי גם אותו) מה שאני לא מצליח זה להוכיח שהיא לא רציפה באף נק' אחרת... (ויש לי גם בדיוק את אותה השאלה רק עם X^2 כפול פונקציית דירכלה...)

מה עושים? תודה רבה

ב-4 לא הבנת נכון את השלילה.

אתה צריך למצוא אפסילון, שעבורו לכל דלתא קיימים x1,x2 וכו'.

תתחיל מ"יהי דלתא", ועבורו תמצא את x1,x2. לא להיפך.

(מה זה ארכימדיות?)

ב-1, אתה יכול להשתמש במשפטים על אריתמטיקה של גבולות?

לגבי 4, הבנתי את השלילה (צריך להוכיח שקיים אפסילון חיובי כך שלכל דלתא חיבו קיימים x,y בקטע a עד אפס כך שמרחקם אחד מהשני קטן מדלתא ומרחק ערך הפונקציה הנדגם בנקודה האחת מזה הנדגם בערך השני יהיה גדול או שווה לאפסילון).

אם הבנתי נכון את הדרך שאתה מתווה לי, כל שיש להוכיח הוא שבכל סביבה דלתאית, נמצא נקודות שבהן f מקבלת את הערך 1 ונקודות שבהן היא מקבלת מינוס 1 וזה יניב (שנגיד) אפסילון=1 מתאים. הבעיה היא להוכיח את קיום הנק' הללו...

(ארכימדיות היא התכונה של הקבוצה R: לכל x>0 בR קיים n בN כך ש: n>x די ברור אך זה נובע מאקסיומה)

כדי להוכיח את קיום הנקודות הללו ע"פ הנוסחאות שהבאת , אני נתקל באי שוייון : עליי להוכיח כי קיים n כך ש:

n>1/(d)+1/(4n)

כאשר d= דלתא. איך מוכיחים כזה אי שוויון ? אינטואיטיבית הוא ברור כמו אקסיומתהשלמות אך פורמאלית???

לגבי 1, מותר לי, (הבעיה שאני בקושי מכיר כאלו המדברים על שלילת קיום גבולות)...

תודה

ב-1, תשתמש בעובדה שהפונקציה f(x)=1/x רציפה בכל נקודה פרט ל-0.

ב-4, תחשוב על זה ככה - יהי דלתא (נקרא לו d). תבחר n=1/d (מעוגל כמובן) ותראה מה קורה.

אוקיי הצלחתי את 4 (עשיתי טעות אריתמטית באי השיווייון שהצגתי).

אתה יכול להמליץ לי בבקשה כיצד עליי לפעול (לבחור את הדלתאות שלי) בתרגילים 3 ו 2.

יש לי עוד תרגיל בעייתי, לקבוע ע"פ הגדרת הנגזרת האם קיימת הנגזרת של הפונקציה f(x)=x^(1/3) a כלומר שורש שלישי של x בנקודה x=1.

אני פשוט לא מצליח לחשב את הגבול...

תודה רבה...

לגבי 2, נראה לי שצריך להשתמש בטריק כמו בהוכחה של נגזרת של מכפלה (אם אתה מכיר), אבל אני לא בטוח (לא מסתדר לי עדיין).

לגבי 3: מה שאתה רוצה זה:

|f(g(x1)) - f(g(x2))| < e

אם נסמן:

y1=g(x1), y2=g(x2)

אז בעצם אתה רוצה:

|f(y1) - f(y2)| < e

ולכן אתה יכול לבחור d1 כך שלכל y1,y2 שההפרש ביניהם קטן מ-d1, זה יתקיים.

עכשיו אתה רק צריך למצוא d מתאים ל-d1 הזה. סבבה?

אוקיי, תודה רבה לגבי 3 הצלחתי, וזה אפילו מאוד פשוט.

לגבי השאלה עם הנגזרת יש לך אולי רעיון?

יש עוד שאלה (התרגילים השבועיים שלנו מורכבים מהמון המון שאלות....) שאשמח אם תתן לי את התשובה ומשם אני אחפש דרך להוכיח...

לאילו ערכים של a שנמצא בקרן הפתוחה מאפס עד אינסוף, הפונקציה f(x)=x^a רציפה במ"ש בקרן הסגורה מאפס עד אינסוף?

תודה רבה לך על כל העזרה!