1)

הוכח: אם אורכי צלעותיו של משולש ישר זווית מהווים סדרה חשבונית אז היחסים בין אורכיהן הם: 3:4:5.

2)

a1,a2,a3,...........,an

היא סדרה חשבונית שאיבריה שונים מאפס הוכח:

1\(a1*a2) + 1\(a2*a3) + 1\(a3*a4) + ... + 1\[a(זה כמובן המספר הסידוריn-1)*an] = (n-1)\(a1*an) 

1. תתייחס לצלעות של המשולש כערכים בסדרה חשבונית (a, a+d, a+2d) ותציב אותן במשפט פיתגורס ותראה מה יוצא.

2. אתה צריך להשתמש בזהות הבאה:

 1   1  1   1
--- = (- - -) * ---
a*b  b  a  a-b

1. תתייחס לצלעות של המשולש כערכים בסדרה חשבונית (a, a+d, a+2d) ותציב אותן במשפט פיתגורס ותראה מה יוצא.

אם זה היה כ"כ פשוט הייתי מגיע לזה לבדת סליחה שלא הדגשתי את המהווים סדרה חשבונית - ז"א לאו דווקא במקרה שהם עוקבים!

2. אתה צריך להשתמש בזהות הבאה:

Code:

1 1 1 1

--- = (- - -) * ---

a*b b a a-b

כתוב לי את זה בהדרכה אבל לא הבנתי מזה בכלל ואיך הגיעו לזה וכמו כן כיצד זה מסייע לי =\ קצת יותר פרטים יעזרו לי .....

תודה!

1. כל שלושה מספרים יכולים להיות מספרים לא עוקבים בסדרה חשבונית. ברור שהכוונה בשאלה הזו היא שהם עוקבים.

2. עזוב איך הגיעו אל השוויון הזה - תתייחס אליו כעובדה קיימת (אם תנסה לפתח את השוויון תבין למה הוא נכון).

תפעיל את השוויון על כל החלקים של הביטוי למטה, ותראה מה יוצא לך.

1. כל שלושה מספרים יכולים להיות מספרים לא עוקבים בסדרה חשבונית. ברור שהכוונה בשאלה הזו היא שהם עוקבים.

לא נכון! סדרה חשבונית היא סדרה שבה כל ההפרשים שווים דגומא שסותרת את ההנחה שלך:1,3,שורש 20.! לר יכולים להוות סדרה חשבונית!

[בקשתי גם כן את ההוכחה הזאת בת'ארד אחר והכיחו לי את זה....]בקיצור אני לא חושב שאפשר להבין מכך שהם מתכוונים לעוקבים!

2. עזוב איך הגיעו אל השוויון הזה - תתייחס אליו כעובדה קיימת (אם תנסה לפתח את השוויון תבין למה הוא נכון).

תפעיל את השוויון על כל החלקים של הביטוי למטה, ותראה מה יוצא לך.

לגבי זה אני לא יכול סתם להתייחס לשוויונים כעובדה קיימת וגם אין לי מושג מה זה a ומה זה b וכאשר אני רוצה להוכיח משהו אני צריך להוכיח את כל הדרך [חוץ ממשפטים בגאומטריה ונוסחאות] אבל כאן זוהי אינה נוסחה ולכן אני חייב להבין מאיפה הקריצו לי את השוויון הזה!שוב אשמח לקבל יותר פרטים! ושוב תודה!

עריכה:

פתחתי סוגריים ויצא לי פסוק אמת אבל איך אני משתמש בזה בשביל לפתור התרגיל???

1) לגבי העיניין עם המספרים עוקבים:

אם אורכי צלעותיו של משולש ישר זווית מהווים סדרה חשבונית

הכוונה כאן ששלושת המספרים שהם אורכי צלעות המשולש הם סדרה חשבונית, לא סתם שלשה של מספרים שהם במקרה גם שלושה מספרים מתוך סדרה חשבונית כלשהי. מכאן שבהכרח לגבי שלושת הצלעות הנ"ל מתקיים שאם אורך האחת היא a (הצלע הקטנה ביותר, שהיא גם אחד הניצבים) אז אורכי הצלעות האחרות הם a+d, a+2d כאשר d מוגדר להיות חיובי מה שמתבטא בכך שהיתר בהכרח הגדול ביותר במשולש. ולכן תגלה מאוחר יותר בהוכחה שהפתרון a=-d אינו קביל.

לכן כפי ששניצל כבר הציע לך, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס, ולבטא את a באמצעות d, ואז יהיה לך ביטוי של כל שלושת הצלעות באמצעות d, מתוכו ינבע היחס שצריך להוכיח. הפירוט בתמונה הראשונה למטה.

2) לאחר שהצלחת לשכנע את עצמך בנכונות הקשר שהוצע לך כאן, הקשר למעשה נותן לך כמעט באופן מיידי את מה שצריך להוכיח, כל שנותר זה מעט מעברים אלגברים פשוטים להוכחת הטענה, אותם פרטתי בתמונה השנייה.

לגבי המעבר שהופך את הביטוי הארוך לקצר יותר, בשורה השניה, תשים לב שזהו טור טלסקופי, כלומר כל האיברים שם מלבד הראשון והאחרון מופיעים פעם אחת עם סימן פלוס ופעם שנייה עם סימן מינוס ולכן מבטלים אחד את השני.

אם משהו לא ברור תגיד, אנסה להבהיר אולי יותר...

[attachment deleted by admin]

1) לגבי העיניין עם המספרים עוקבים: הכוונה כאן ששלושת המספרים שהם אורכי צלעות המשולש הם סדרה חשבונית, לא סתם שלשה של מספרים שהם במקרה גם שלושה מספרים מתוך סדרה חשבונית כלשהי. מכאן שבהכרח לגבי שלושת הצלעות הנ"ל מתקיים שאם אורך האחת היא a (הצלע הקטנה ביותר, שהיא גם אחד הניצבים) אז אורכי הצלעות האחרות הם a+d, a+2d כאשר d מוגדר להיות חיובי מה שמתבטא בכך שהיתר בהכרח הגדול ביותר במשולש. ולכן תגלה מאוחר יותר בהוכחה שהפתרון a=-d אינו קביל.

לכן כפי ששניצל כבר הציע לך, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס, ולבטא את a באמצעות d, ואז יהיה לך ביטוי של כל שלושת הצלעות באמצעות d, מתוכו ינבע היחס שצריך להוכיח. הפירוט בתמונה הראשונה למטה.

2) לאחר שהצלחת לשכנע את עצמך בנכונות הקשר שהוצע לך כאן, הקשר למעשה נותן לך כמעט באופן מיידי את מה שצריך להוכיח, כל שנותר זה מעט מעברים אלגברים פשוטים להוכחת הטענה, אותם פרטתי בתמונה השנייה.

לגבי המעבר שהופך את הביטוי הארוך לקצר יותר, בשורה השניה, תשים לב שזהו טור טלסקופי, כלומר כל האיברים שם מלבד הראשון והאחרון מופיעים פעם אחת עם סימן פלוס ופעם שנייה עם סימן מינוס ולכן מבטלים אחד את השני.

אם משהו לא ברור תגיד, אנסה להבהיר אולי יותר...

אחי תודה ענקית על ההשקעה! אבל לגבי השאלה עדיין לא הבנתי איך אתה יכול להסיק שהם דווקא מספרים עוקבים!!! [אני אדם חופר] אם אתה יכול להסביר לי את זה לעמוק אני אשמח!וגם נגיד שאני מסכים עם הנחה זו עדיין לא הבנתי איך הגעת למסכה השנייה [החץ השני] אני רואה שזה הגיוני אבל אין דרך אלגברית כגון פירוק לגורמים שתסביר את זה יותר במפורט? אם כן אשמח לקבל אחת.....ולגבי זה שההפרש לא יכול להיות שלילי יכולה להיות סדרה יורדת שהיא גם כן תהווה צלעות של משולש ישר זווית!אני אצטט את השאלה מהספר:אם אורכי צלעותיו של משולש ישר זווית מהווים סדרה חשבונית אז היחסים בין אורכיהן הוא 3:4:5 לפי דעתי יכול להיות שהיתר הוא a ושני הניצבים הם B,C ולכן אי אפשר מקרה כזה הוא גם כן אפשרי....

לגבי השאלה השנייה הבנתי כל מה שעשית עד למסקנה שהגעתאליה בסימן השווה[=] מספר 4 מההתחלה. אם תוכל להסביר לי אני אשמח!

ושוב תודה רבה!!!!

1) אומרים לך במפורש ששלושת הצלעות במשולש ישר זווית מהווים סדרה חשבונית, כלומר נתונה לך קבוצת מספרים - שלושה מספרים - שמהווים סדרה חשבונית.

אם באופן כללי היו נותנים לך n מספרים, ואומרים לך שהם מהווים סדרה חשבונית, הרי היית מסיק שאם תסדר (מכאן השם סידרה) את האיבר מהקטן לגדול לפי הסדר תקבל הפרש קבוע בין אחד לשני (סדרה חשבונית)

באופן זהה לחלוטין, קח את 3 המספרים המהווים את אורכי צלעות המשולש ותסדר אותם מהקטן לגדול והרי לך 3 מספרים עם הפרש קבוע ביניהם כי הרי הם מהווים סדרה חשבונית.

שוב זה עניין של סמנטיקה, וחשוב לשים לב לניסוח השאלה. האיברים עצמם מהווים סדרה חשבונית. לא 3 איברים כלשהם הלקוחים מתוך סדרה חשבונית, אלא 3 האיברים האלו הם הסדרה החשבונית בכללותה

2) למעבר הזה הוספתי הסבר בעריכה: ניתן להוציא את מינוס אחד חלקי d בתור גורם משותף ואז כל איבר, למשל האיבר אחד חלקי a2 מופיע פעם אחת עם סימן חיובי ופעם אחת עם סימן שלילי בסכום הארוך הזה. כך לגבי כל איבר מלבד הראשון והאחרון בסכום, ולכן הם היחידים הנותרים בסכום הנ"ל. שוב, אם תסתבך פשוט תוסיף עוד מעבר אחד ותראה שאלו איברים שמתבטלים בחיבור.

את המסקנה האחרונה שלך [בתרגיל השני] הבנתי....[הבאתי לעצמי כמה דוגמאות וראיתי שזה מתקיים] אבל האם יש כלל כזה? או שאפשר להוכיח אותו?

שוב ממש תודה לך! אשכרה פורום שעוזר לאנשים!!!

עריכה:

התצלחתי להוכיח את מה ששאלתי פשוט מציבים את נוסחתהאיבר כללי במקום an!!

אחי ממש ממש תודה עזרת לי המון מדהים שיש עוד אנשים כמוכם שמוכניםלפנות מהזמן שלהם כדי לעזור לאחרים! תודה!

המסקנה נובעת מכך שהטור (סכום של סדרת מספרים) הוא טור טלסקופי. אפילו השם הזה, "טור טלסקופי" נובע מכך שממש כמו טלסקופ שאפשר לכווץ באופן כזה שתראה רק את העדשה בהתחלה ובסוף, כך גם טור טלסקופי בעל ייצוג ארוך של סכום כל איבריו, וייצוג נוסף המהווה את תוצאת הסכום.

לא נראה לי שהיה ממש צריך להשתמש בדוגמאות במקרה הזה, הרי רואים את הסימטריה בין האיברים המרכיבים את הטור, ממש כמו בדוגמא הזאת:

(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+...+(a_n-1-a_n)

הרי אם פשוט פותחים את הסוגרים (מותר כי החיבור אסוציאטיבי) רואים שלכל איבר חוץ מהראשון והאחרון קיים גם הנגדי לו בסכום, אז אל תתן לסוגריים לבלבל אותך. ולכן הביטוי הזה פשוט הופך להיות a₁-a_n

באופן כללי, אם תכונת הטלסקופיות בולטת, ניתן להשתמש בה כדי לעשות את המעבר, אבל אם תרצה ממש להוכיח את נכונות המעבר, פשוט תוכיח את הקשר באינדוקציה באופן חד פעמי ומאותו רגע והלאה אני מאמין שתרגיש מספיק בטוח כדי להשתמש בו בהמשך.

אה כן, ועל לא דבר... שמחתי לעזור

אחי לא הבנת למה התכוונתי...את הטלסקופ הבנתימההתחלה אני דיברתי על המסקנה הכי אחרונה בפתרון התרגיל [השווה[=] האחרון]. למה האיברים וההפרש מתבטלים ובמקומם יש n-1.

אה, אוקי, אבל את זה ראיתי כבר שהבנת לבד (הצבה של האיבר הכללי במקום a_n)

פירטתי הרבה על הטור הטלסקופי כי זה מה שהבנתי שגם הפריע לך:

לגבי השאלה השנייה הבנתי כל מה שעשית עד למסקנה שהגעתאליה בסימן השווה[=] מספר 4 מההתחלה. אם תוכל להסביר לי אני אשמח!

שמתי לב ששאלת גם לגבי החץ השני בתרגיל הראשון. דרך אלגברית, פשוט נוסחת השורשים או טרינום, או פירוק לגורמים בסיסי באופן הבא:

a²-2ad+3d²=a²+ad-3ad+3d²=a(a+d)-3d(a+d)=(a-3d)(a+d)

ולגבי העיניין עם ההפרש החיובי:

ברור שאתה יכול להגיד שההפרש יכול להיות שלילי והסדרה יורדת אבל אז a יהיה האיבר הגדול ביותר והוא יהווה את היתר ושני האיברים האחרים את הניצבים, המשוואה הראשונה משתנה כך שa בריבוע באגף אחד והשאר באגף השני, ושוב תקבל את אותו פיתרון.

יש דברים שפשוט צריך לנסות כדי להבין, אז תעשה לעצמך טובה, אם אתה לא בטוח במשהו פשוט תכתוב, תנסה, ותראה אם מה שחשדת שמתקיים אכן מתקיים, או לא.

ולגבי העיניין עם ההפרש החיובי:

ברור שאתה יכול להגיד שההפרש יכול להיות שלילי והסדרה יורדת אבל אז a יהיה האיבר הגדול ביותר והוא יהווה את היתר ושני האיברים האחרים את הניצבים, המשוואה הראשונה משתנה כך שa בריבוע באגף אחד והשאר באגף השני, ושוב תקבל את אותו פיתרון.

יש דברים שפשוט צריך לנסות כדי להבין, אז תעשה לעצמך טובה, אם אתה לא בטוח במשהו פשוט תכתוב, תנסה, ותראה אם מה שחשדת שמתקיים אכן מתקיים, או לא.

בואנה כמה שאתהצודק זה פשוט אווילות מוחלטת לא לשים לב לכך שכל הפרמטרים ישתנו אם הסדרה תרד!

ד"א סיימת כבר תיכון?