צריך עזרה בתרגיל בנושא טורים

[Dimka]

שלום,

יש לי את הטור הבא:

(2^n + 3^n) / (4^n + 5^n)

כאשר n טבעי.

נתבקשתי להוכיח שהטור מתכנס לפי שיטת ההשוואה (להראות שיש טור מתכנס שהאיבר הכללי שלו גדול יותר), אך אני לא נתקלתי בחזקות n בעבר.

מישהו יכול לעזור בבקשה?

[שניצל]

כשאתה אומר "טור", אתה מתכוון לסכום של האיברים מהסדרה הזו, כן?

[Dimka]

כן, סיגמה.

***אגב תיקנתי את התרגיל בנושא, החלפתי בטעות באחד האיברים.

[ErezBH]

תנסה להשוות אותו לטור ההרמוני המוכלל (1/2^n - אחד חלקי 2 בחזקת N) עבור n>=1 הטור מתכנס (אחרת הטור מתבדר).

עריכה: בבדיקה בטיוטה אתה יכול לראות שבאמצעות מבחן ההתבדרות (כאשר N שואף לאינסוף הטור שואף ל-0) מה שנותן לך טריגר לזה שהטור בוודאות לא מתבדר. (מעבר לכך, אתה יכול לעשות טיוטה נוספת גם עם מבחן השורש בכדי לאמת את התשובה שלך - של מבחן ההשוואה).

[שניצל]

אחרי התיקון התרגיל עוד יותר קל

כמו שאמרת, שיטת ההשוואה היא הפתרון. אתה צריך לעשות שינויים בטור ככה שתקבל טור עם איבר כללי גדול יותר שקל לך להראות שהוא מתכנס. הטור החדש צריך להיות טור "פשוט" יותר.

איך "מגדילים" ביטוי? צריך להגדיל את המונה ו/או להקטין את המכנה, והדרך לעשות זאת היא ע"י מחיקת אחד המחוברים (כלומר להחליף את x+y ב-x) או ע"י החלפת מחובר אחד עם מחובר אחר (כלומר במקום x+y עושים x+x ואז מקבלים את הביטוי 2x שהוא יותר פשוט). רק תחשוב האם ההחלפה גורמת לכך שהביטוי יקטן או יגדל.

[Dimka]

ל-ErezBH, זה לא נכון. אם הטור שואף ל-0 באינסוף אז זה תנאי להתכנסות, אך טור מתבדר יכול להתכנס, אם הוא לא היה שואף לאינסוף זו ערובה להתבדרות (גם נתון שהוא לא מתבדר).

מבחינת מציאת איבר פשוט יותר...

לאחר השמטת האיבר 4 בחזקת n, קיבלתי (הרי הקטנתי את המכנה לכן הוא בהכרח גדול יותר):

(2^n + 3^n) / (5^n)

שלב הבא שאני יכול לעשות זה להוכיח ששני האיברים שלמטה מתכנסים בנפרד (חיבור של טורים מתכנסים נותן טור מתכנס):

(2^n) / (5^n) +
(3^n) / (5^n)

פה שוב נתקעתי, אני לא יודע מה לעשות עם חזקת n...

[שניצל]

חוקי חזקות, מזכיר לך משהו?

[Dimka]

ניסיתי כל מני טריקים, אבל בסוף בסוף אני נשאר עם חזקת n (או משהו בסגנון n-1 ).

???

[שניצל]

ואיזה טור אתה מכיר עם חזקת n? (זה אחד הטורים הראשונים שלומדים...)

[Dimka]

כל טור הרמוני מוכלל עם חזקת מכנה גדולה מ-1 הוא מתכנס.

אבל מדובר במצב בו 1 חלקי K איזשהו והחזקה שלו קבועה.

או שאתה מתכוון לטור הנדסי?

[שניצל]

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94_%D7%94%D7%A0%D7%93%D7%A1%D7%99%D7%AA

[Dimka]

זה היה החור שלי בהכשלה... משום מה לא חשבתי שזה טור הנדסי (צריך לתרגל יותר)

יצא שמקדם q קטן מ-1 בשני האיברים והם מתכנסים ולכן חיבורם הוא מתכנס -> ע"י מבחן השוואה האיבר הכללי גדול יותר מהמקורי ולכן גם הביטוי המקורי מתכנס.