הבעיה היא למצוא את כל השורשים של מטריצת האפס, כלומר בהינתן מטריצה ריבועית מסדר כלשהו שכל איברה אפסים, מהם כל המטריצות שאם נכפיל אותן בעצמן נקבל את מטריצת האפס הנ"ל.

במבט ראשון אפשר לחשוב שרק מטריצת האפס עצמה מתאימה אך בקלות ניתן לראות שקיימות מטריצות אחרות שמקיימות זאת.

נסיתי לפעול 'בדרך הפורמלית' למציאת שורש של מרטיצה - למצוא לה בסיס עצמי ולקבל את המטריצה האלכסונית הדומה לה להוציא ממנה שורש ולהכפיל מימין ומשמאל במטריצת המעבר ובהופכית שלה...

הבעיה כאן היא שהמטריצה היא כבר אלכסונית!!! ולכן אם נוציא שורש נקבל רק את מטריצת האפס... אבל יש בפירוש עוד מטריצות כאלה לדוגמא:

בסדר 3X3 :

0 0 0
0 1 1
0 -1 -1

יש דרך אנליטית למציאת קבוצת כל המטריצות הללו?

תודה מראש...

נסה לבנות את זה פרמטרית ולקבל נוסחה כללית (ואני כבר אומר לך שזה לא יהיה נעים). אולי יותר מאוחר אני אנסה גם

בהצלחה.

אחי אתה תותח!!!!!! אם נסמן את את השורות בR1 R2 R3 ואת העמודות בC1 C2 C3 נקבל שהמטריצה הבאה היא מטריצת האפס:

<R1,C1> <R1,C2> <R1,C3>
<R2,C1> <R2,C2> <R2,C3>
<R3,C1> <R2,C2> <R3,C3>

כלומר קיבלנו גם משמעות גיאומטרית - דרוש שכל וקטורי העמודות ניצבים לכל וקטורי השורות!!!

אני לא חושב שהיית מוצא הופכי למטריצה...

אחחח, בדיוק לפני 3 ימים סיימתי סופית עם החומר הזה...

אני מקווה^^

[זה וחבורות...]

איזה הופכי ולאיזו מטריצה? ממה שיואב הציע מקבלים 9 משוואות לא לינאריות, הומוגניות עם 9 נעלמים מה ששולל את כל הטכניקה של מטריצה הופכית שפותחה רק למשוואות לינאריות. אם מתבוננים שמים לב שריבוע מטריצות עושה "דוט פרודוקט" - מכפלה סקלרית בין השורות לעמודות: האיבר הij הוא המכפלה הסקלרית של השורה הi בעמודה הj. אם משווים זאת לאפס מקבלים שכל המכפלות הסקלריות הללו שוות לאפס ולכן עם חושבים על העמודות והשורות כעל וקטורים בRn אז קבוצת כל המטריצות שהן השורשים של מטריצת האפס היא קבוצת כל המטריצות שכל וקטורי השורות בה ניצבים לכל וקטורי העמודות בה.

וגם אני בע"ה עוד שלושה ימים יגמור עם זה, למרות שהיה קורס די מעניין והוא יהיה מאוד חיוני להמשך...

http://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent_matrix

שניצל, תודה על הלינק באמת מאוד מעניין.

ניסיתי להתעמק עוד קצת בנושא של שורשי מטריצות וצצו לי כמה בעיות...

שמתי לב שאם אני מחפש שורש מסדר כלשהו של מטריצה [לשם פשטות נניח שיש לה בסיס עצמי כלומר שהיא לכסינה] ע"י לכסונה אז הפתרון המתקבל הוא לא היחיד!!! לדוגמא [ולמי שיש מבחן בזמן הקרוב כדאי לנסות את זה לבד]:

צריך למצוא את כל השורשים מסדר 3 של המטריצה הבאה:

 0 0 1
 0 1 0
-1 0 0

אם נרחיב את השדה שהמטריצה מעליו לC נוכל לקבל בסיס עצמי ונמצא מטריצה אחת שהיא שורש שלישי של המטריצה הנתונה, אך קל מאוד לראות שיש עוד שתי מטריצות כאלה! המטריצה הזו יכולה להיות הצגה מטריצית של אופרטור סיבוב סביב ציר הY בR3! התבנית הכללית היא:

 cos a  sin a
  0  1  0
-sin a 0 cos a

ולכן הזווית שבה האופרטור מסובב היא pi/2 ולכן ברור שכל השורשים השלישיים הם אותה המטריצה עם הזוויות:

a=(pi/2+2pik)/3

כי אם נפעיל את האופרטור שלוש פעמים [נכפיל את המטריצה שלוש פעמים בעצמה] נקבל את אותה הזווית pi/2 ולכן אלה כל הפתרונות [3 במספר]...

עכשיו שאלתי היא מה עושים במקרה יותר כללי.. אם נתונה לי מטריצה ריבועית מסדר כלשהו האם יש אלגוריתם מסודר למציאת כל השורשים שלה מכל הסדרים??

ומה במקרה של מטריצה לא לכסינה? האם ניתן אולי לעשות משהו באמצעות צורת הז'ורדן שלה???

תודה

אתה יכול להיעזר במשפט קיילי-המילטון, רק שתצטרך שכל השורשים יהיו 0

איזה הופכי ולאיזו מטריצה? ממה שיואב הציע מקבלים 9 משוואות לא לינאריות, הומוגניות עם 9 נעלמים מה ששולל את כל הטכניקה של מטריצה הופכית שפותחה רק למשוואות לינאריות. אם מתבוננים שמים לב שריבוע מטריצות עושה "דוט פרודוקט" - מכפלה סקלרית בין השורות לעמודות: האיבר הij הוא המכפלה הסקלרית של השורה הi בעמודה הj. אם משווים זאת לאפס מקבלים שכל המכפלות הסקלריות הללו שוות לאפס ולכן עם חושבים על העמודות והשורות כעל וקטורים בRn אז קבוצת כל המטריצות שהן השורשים של מטריצת האפס היא קבוצת כל המטריצות שכל וקטורי השורות בה ניצבים לכל וקטורי העמודות בה.

וגם אני בע"ה עוד שלושה ימים יגמור עם זה, למרות שהיה קורס די מעניין והוא יהיה מאוד חיוני להמשך...

טעות שלי, כתבת להכפיל במטריצת המעבר ובהופכי שלה...אז הבנתי את זה לא נכון איכשהו