חבורות (מתמטיקה )

[Yehudaa]

תהי A קבוצה שעליה מוגדרת פעולה בינרית * המקיימת את תכונת הסגירות ואת חוקי הצמצום.

ידוע שיש איבר e כך שלכל x E A מתקיים x * e = x.

א. הוכח כי e אינו בהכרח איבר ניטרלי ב- A ביחס לפעולה * .

ב. הוכח כי אם * פעולה קיבוצית , אז e ניטרלי ב- A ביחס לפעולה * .

איך אני מוצא קבוצה שמקיימת סגירות וגם חוקי צמצום ?

ומה ההבדל בינה לבין חבורה (את הגדרות חבורה אני מכיר , רק רוצה לעמוד על ההבדל בינהם )

תודה .

ועוד משהו , אם למשהו יש דרך להראות דרך טבלת פעולה אשמח ,

כי אני לא מבין איך מראים את תכונת חוקי הצמצום בטבלת פעולה.

עריכה : פתרתי , אבל אם למישהו יש דרך אלגנטית להוכיח סעיף ב' אשמח !

[ofir_yair]

קבל דרך אלגנטית:

למעשה כדי להוכיח e איבר ניטרלי צ"ל xe=ex=x. שיוויון אחד נתון, לכן צ"ל ex=x.

יהיו x,y איברים ב-A, אז:

yx=(ye)x=y(ex)

x=ex

מעבר ראשון: נתון ye=y

מעבר שני: אסוציאטיביות (קיבוץ)

שורה ראשונה->שורה שנייה: צמצום y משני הקצוות

[Yehudaa]

גדול

הצלחתי להוכיח סעיף ב' אבל בדרך קצת מסורבלת ,

היתה לי הרגשה שיש דרך פשוטה .

[Yehudaa]

תהי G חבורה ביחס לפעולה * .

א. הוכח כי לכל a ו-b ב- G קיים x E G כך ש- a*x=b.

ב. נניח כי לכל a, b ו-c ב- G מתקיים התנאי הבא: אם a*c=b*a , אז c=b .

הוכח כי G היא חבורה חילופית.

( רמז: עפ"י הטענה שהוכחת בסעיף א, לכל a ו -b ב- G קיים x E G כך ש-

(a*b)*x=b*a

???

[ofir_yair]

א. למעשה צריך להראות שעבור השיוויון a*x=b בהינתן a,b השייכים ל-G גם x הוא איבר ב-G. ההוכחה בתמונה כאשר המעברים משמאל לימין נובעים מ:

1) a ב-G לכן קיים הופכי ל-a ב-G בו ניתן להכפיל את שני האגפים משמאל

2) פעולה אסוציאטיבית בחבורה

3) איבר כפול ההופכי שווה לאיבר היחידה e

4) מעבר מעט עדין: a^(-1)*b הוא איבר הקיים ב-G ולכן מקיים את המשוואה ולכן x שווה לו

ב) צ"ל לכל a,b ב-G מתקיים ab=ba.

יהיו a,b איברים ב-G (כל זוג איברים אפשרי).

נשים לב שגם ba איבר ב-G ולכן עפ"י סעיף א' קיים x ב-G המקיים ax=ba.

לאחר שמצאנו ש-x קיים ב-G המקיים את המשוואה, נשתמש בנתון האומר כי x=b.

ואז למעשה קיבלנו ab=ba וזאת הראינו לכל a,b ב-G

[attachment deleted by admin]

[Yehudaa]

תודה