מכל אחת משתי נקודוצ הנמצאות מחוץ לאותו מעגל במרחיקים שונים מהמרכז יוצאים שני משיקים למעגל. מבין שני המיתרים המחברים את שתי נקודות ההשקה [של אותה הנקודה כמובן] איזה מיתר גדול יותר זה של הנקודה הקרובה יותר למרכז המעגל או זה של הנקודה הרחוקה יותר מהמרכז? הוכח.

חשבתי על זה כמה שעות היום בשיעור תנ"ך ולא הצלחתי. אשמח לעצות תודה מראש.

אין ציור?

ניסחת את השאלה ממש מסורבל.אם הבנתי נכון אז המיתר של הנק הרחוקה יותר.

בספר אין אבל זה לא בעיה גדולה לצייר הנה:

AO>BO

צריך [כנראה] להוכיח שDC>EF....

תודה מראש

קבל הצעה לפתרון, הפעם אפילו יצא די פשוט:

[attachment deleted by admin]

קבל הצעה לפתרון, הפעם אפילו יצא די פשוט:

אחי אחלה פתרון אבל הוא ספציפי למקרה שבה הנקודה הקרובה יותר נמצאת על אחד ממשיקי הנקודה הרחוקה. אני צריך פתרון שיוכיח זאת לכל הנקודות הרחוקות יותר והקרובות יותר שמחוץ למעגל...כמו בשרטוט שלי, חשבתי אולי להעביר מעגל שרדיוסו DO ואז מספיק להוכיח את הטענה שלך כי כל הרדיוסים במעגל הנבנה שווים אבל אני לא בטוח שזה נכון....

ויש לך טעות [הקלדה אני משער] בטענה 4 BC=BI אני משער שהתכוונת לCI אבל שטויות....אני מקווה שלא ידפקו לנו תרגילים ברמת הקושי הנ"ל בבגרות....בכל אופן תודה.

קודם כל, בקשר לטעות ההקלדה - צודק, אבל העיקר שהבנת למה התכוונתי.

בנוגע לכלליות הפתרון, לא חשבתי שצריך להקדים ולומר שאתה כמובן יכול לבנות את אותו משולש (אצלך בציור BFE) בתור בניית עזר כך שהנקודה B תהיה על המשיק המתאים, כדי לקבל את השרטוט שאני הצגתי. תשים לב שבבניה זו אני לא מניח שום דבר, ואף הראיתי הוכחה לכך שAB קטן מ BD (למרות שכביכול ניתן "לראות" זאת בציור) כך שלא הבנייה, ולא ההוכחה עצמה מניחה דברים לצורך הפתרון, וכן גם לא הסתמכתי בשום שלב על הציור שהתקבל, אלא רק על נתוני השאלה.

לכן הפתרון כללי לחלוטין!

קודם כל, בקשר לטעות ההקלדה - צודק, אבל העיקר שהבנת למה התכוונתי.

בנוגע לכלליות הפתרון, לא חשבתי שצריך להקדים ולומר שאתה כמובן יכול לבנות את אותו משולש (אצלך בציור BFE) בתור בניית עזר כך שהנקודה B תהיה על המשיק המתאים, כדי לקבל את השרטוט שאני הצגתי. תשים לב שבבניה זו אני לא מניח שום דבר, ואף הראיתי הוכחה לכך שAB קטן מ BD (למרות שכביכול ניתן "לראות" זאת בציור) כך שלא הבנייה, ולא ההוכחה עצמה מניחה דברים לצורך הפתרון, וכן גם לא הסתמכתי בשום שלב על הציור שהתקבל, אלא רק על נתוני השאלה.

לכן הפתרון כללי לחלוטין!

אתה צודק אך אתה מקבל משולשים וזוויות שנוצרים מחיתוכים מסויימים בעקבות הבנייה המסויימת שלא היו נוצרים ללא הבנייה המסויימת,ממה שאני הבנתי [וכנראה שלא הבנתי נכון ואצתרך הסבר יותר מעמיק] הוכחת את הטענה רק כאשר הנקודה הקרובה נמצאת על אחד ממשיקי הנקודה הרחוקה ואם הפתרון כללי אז אפשר להוכיח אותו גם אם הנקודה הקרובה לא נמצאת על אחד מהמשיקים אשמח אם תסביר לי יותר בפירוט....תודה

מה שהתכוונתי הוא כזה:

לכל נקודה קרובה יותר היוצרת משולש BFE אצלך בציור, ניתן לבנות בניית עזר של משולש חופף כך שקודקוד הראש שלו מונח על המשיק בין הנקודה הרחוקה יותר למעגל אצלי בציור DBE. מכיוון שהמשולשים חופפים כל מה שמוכיחים לגבי זה הקיים אצלי בציור DBE נכון גם למשולש הרחוק יותר שאצלך BFE, ומכאן כלליות ההוכחה.

כמו כן תשים שוב לב שאני לא מניח הנחות שנוצרות כתוצאה מפרטי הציור. כל טענות ההוכחה נובעות מנתוני השאלה בלבד. למשל BH מצידי יכל להיות מצידו השני של BG (מימין במקום משמאל) וזה עדיין לא משנה את העובדה שהוא גדול ממנו, כי BG עדיין אנך במשולש ישר זווית.

מה שהתכוונתי הוא כזה:

לכל נקודה קרובה יותר היוצרת משולש BFE אצלך בציור, ניתן לבנות בניית עזר של משולש חופף כך שקודקוד הראש שלו מונח על המשיק בין הנקודה הרחוקה יותר למעגל אצלי בציור DBE. מכיוון שהמשולשים חופפים כל מה שמוכיחים לגבי זה הקיים אצלי בציור DBE נכון גם למשולש הרחוק יותר שאצלך BFE, ומכאן כלליות ההוכחה.

כמו כן תשים שוב לב שאני לא מניח הנחות שנוצרות כתוצאה מפרטי הציור. כל טענות ההוכחה נובעות מנתוני השאלה בלבד. למשל BH מצידי יכל להיות מצידו השני של BG (מימין במקום משמאל) וזה עדיין לא משנה את העובדה שהוא גדול ממנו, כי BG עדיין אנך במשולש ישר זווית.

קבלתי תודה רבה!