ניתנה לנו שאלה בתרגיל להוכיח את אי-שיוויון ברנולי באמצעות הבינום של ניוטון.

הוכחה רגילה של אי-השיוויון באינדוקציה אינה מסובכת כלל אבל כאשר ניסיתי לשלב את הבינום לתוך משוואת אי-השיוויון ואז להשתמש באינדוקציה הגעתי למבוי-סתום. בעקרון ההוכחה לא חייבת להיות באינדוקציה אבל זו השיטה היחידה שנראית לי הגיונית, כמו כן לא חייבים לשלב את הבינום בצורה שאני שילבתי אותו אבל אני לא ראיתי דרך אחרת להשתמש בו כאן, יכול להיות שהגישה כולה שגויה.

בכל מקרה, אשמח לקבל עצות.

[attachment deleted by admin]

הנה הצעתי לפיתרון, תראה אם הכל ברור, אם לא תשאל.

[attachment deleted by admin]

בעקרון אני מבין את התהליך של ההוכחה שלך באופן כללי אבל יש לי שתי שאלות:

1) אם אני מבין נכון ההחלפה של n-k ב-k היא רק לצורך כתיבה פשוטה יותר של הפתרון מאחר ובפועל n-k לא באמת שווה ל-k ?

2) אם אני מבין את מה שעשית נכון במקום לכתוב את הנחת האינדוקציה עבור n כתבת אותה עבור n-1 ואז ביצעת את ההוכחה עצמה עבור n, האם זה נכון?

1) n לא שווה ל n-k אבל תשים לב שהסכימה מ k=0 עד ל k=n כך שזה לחלוטין סימטרי, בשני המקרים חזקות ה-x ומקדמיו זהים לאורך הסכימה

2) כן, זה לא משנה אם מניחים על n ומוכיחים על n+1, או שמניחים על n-1 ומוכיחים על n. כל עוד הצעד הוא +1 בטבעיים, זה מכסה את כל הטבעיים החל מהבסיס.

הבנתי, פתרון יפה בהחלט, תודה רבה על העזרה.

אם יש לך כוח לשאלה נוספת יש עוד שאלה טריקית למדי שלא הצלחתי לפתור בתרגיל והייתי שמח לקבל סיוע.

[attachment deleted by admin]

כן, הרבה יותר טריקי, אבל לא נורא מאוד, צריך להשתדל לא לפספס כמה עובדות:

[attachment deleted by admin]

אני מבין שטענת עזר מספר 2 נכונה למעשה כי אתה סוכם את הביטוי של המקדם הבינומינלי כפליים (0->n) לעומת (0->2n+1) לכן הסכום במקרה השני הוא כפול מבמקרה הראשון. מה שאני לא מבין זה איך זה מתקשר לרמז.

תודה בשנית על העזרה, אני אשמח לדעת מה תחום הלימודים שלך ואיפה אגב מאחר ואתה שולט במתמטיקה באופן מרשים.

נערך.

קודם כל הרמז באופן כללי אומר, שלכל מקדם בינומי, יש מקדם סימטרי ושניהם שווים בערכם.

אם תשים לב לטענת עזר 2 קיימת באגף ימין סכימה של n+1 מקדמים כאלו (מ-0 עד n), ובאגף שמאל יש 2n+2 מקדמים כאלו (מ-0 עד 2n+1),

כך שלכל אחד, על פי הרמז יש את הסימטרי השווה לו, ולכן סכום 2n+2 איברים שווה בדיוק לפי שניים מהסכום של n+1 איברים.

אולי דוגמה תבהיר את זה טוב יותר. נניח ש-n=2, אז אגף שמאל סוכם את המקדמים (5,0)+(5,1)+(5,2) - {האיבר השמאלי בסוגריים הוא העליון במקדם הבינומי, לא היה לי כוח לעוד פרינטסקרין} ואגף ימין סוכם את כל המקדמים (5,0)+(5,1)+(5,2) וגם את (5,3)+(5,4)+(5,5) אולם לכל איבר בהמשך הסכום יש איבר השווה לתחילת הסכום: (5,0)=(5,5), (5,1)=(5,4), (5,3)=(5,2) ולכן סכום 6 המקדמים שווה לפי 2 מסכום 3 המקדמים הראשונים, וזה בדיוק מה שטענת עזר 2 שהסתמכה לחלוטין על הרמז אומרת.

לומד שנה שנייה בפקולטה למדעי המחשב בטכניון - וכן, שם בלית ברירה מאלצים אותנו לרמה מתמטית גבוהה. לא תמיד מרגיש שעומד בקצב שם, אבל מצליח לשרוד בינתיים, איכשהו.

הבנתי.

תודה רבה על העזרה!

אתה צריך לשקול לתת שיעורים פרטיים, נראה לי שאם כישורים כמו שלך לא יחסרו לך לקוחות

בהצלחה בלימודים שלך בינתיים ונתראה בפעם הבאה שאני אתקע בתרגיל ;D