משפט פיתגורס זו תכונה של משולש ישר זוית, ולכן כלול לחלוטין בגיאומטריה אוקלידית.

רק שלא ממש הבנתי איך הגעת לזה, איך החלטת שהזוית בין ה 2 ל 2 היא 90 מעלות, ומה יוצאת הזוית?

אודה לך אם תוכל לרשום את ההוכחה (לא "טענה/נימוק", סתם הסבר כללי קצת ברור יותר)

מה הסדר של הבנייה?

אם, נגיד, עושים ניצב ל-2 המקורי גם באורך 2, וסוגרים את המשולש, הצלע השלישית היא אכן באורך שורש של 8, והזוית בין 2 ל-2 היא ישרה.

עכשיו יש נו שתי צלעות - 3 ו-2 שורש 2, רק מי אמר שאם סוגרים את המשולש (צלע 1) נוצרת זווית של 90 מעלות שמאפשת להשתמש בפיתגורס ולהוכיח שאורך הצלע הוא באמת 1?

אם הוכחת את זה, החלק של הזווית שמחוץ לריבוע במשולש 2-2-שורש 8 הוא בגודל 45 מעלות, שאר הזווית ישרה, וסה"כ 135 מעלות.

מדמיון המשולשים נובע שגודל הזווית המקורית הוא 135 מעלות.

הבעיה שלי היא להבין למה הזווית בין 2 שורש 2 ל-1 היא ישרה.

רק מי אמר שאם סוגרים את המשולש (צלע 1) נוצרת זווית של 90 מעלות שמאפשת להשתמש בפיתגורס ולהוכיח שאורך הצלע הוא באמת 1?

כשסוגרים את הצלע בין הקודקוד החדש שהוספנו לקודקוד מימין למטה, אפשר להוכיח שהיא באורך 1 באמצעות חפיפת משולשים. מזה מוכיחים שהזווית היא 90 מעלות - לא ההיפך.

הבעיה שלי היא להבין למה הזווית בין 2 שורש 2 ל-1 היא ישרה.

בגלל זה:

הנקודה המרכזית היא שמשפט פיתגורס הוא אם ורק אם.

הבנתי הכל חוץ מאיזה משולשים חופפים כדי לקבל שה 1 מחוץ לריבוע הוא אכן 1.

אם מדובר במשולש 1-2 שבתוך הריבוע, על פי מה החפיפה? אני מוצא רק צלע צלע, אין זוית

החפיפה היא בין המשולש שמורכב מצלע הריבוע השמאלית והקטעים באורך 1 ו-2 והמשולש החדש - זה שמורכב מצלע הריבוע התחתונה, הקטע שבנינו באורך 2, והקטע שבנינו שאנחנו עדיין לא יודעים שהוא באורך 1.

תסתכל על הזווית בין הקטע באורך 2 לצלע הריבוע, ותנסה להבין למה היא שווה בשני המשולשים.

דביל שכמוני. הבנתי.

הייתי עסוק בלחשוב על הזוית הגדולה מול הצלע הגדולה ומה לא.

יפה מאוד

החפיפה היא בין המשולש שמורכב מצלע הריבוע השמאלית והקטעים באורך 1 ו-2 והמשולש החדש - זה שמורכב מצלע הריבוע התחתונה, הקטע שבנינו באורך 2, והקטע שבנינו שאנחנו עדיין לא יודעים שהוא באורך 1.

תסתכל על הזווית בין הקטע באורך 2 לצלע הריבוע, ותנסה להבין למה היא שווה בשני המשולשים.

אנחנו כן יודעים שהאורך הוא 1 ו2 מהבניה לבד. חוקי הבניה הם כל מה שאפשר לבנות עם חוגה וסרגל. אם יש לך חוגה, מציירים מעגל עם רדיוס 2 סביב הפינה השמאלית התחתונה, ומעגל עם רדיוס 1 סביב הפינה הימנית התחתונה. נקודת המפגש בינהם היא הקודקוד של המשולש החדש.

אבל אז אתה צריך להוכיח שהזווית בין שני הקטעים באורך 2 היא 90 מעלות. זה פשוט מחליף את הצורך בהוכחה אחת בצורך בהוכחה אחרת.

אתה לא צריך להוכיח. אתה יכול להגדיר. בגלל שהאורך 2 נתון לך, מותר לך להעתיק קטע באורך 2 ולהגיד שהוא ניצב. כל עוד מדובר בתכונה גיאומטרית אחת בלבד- מותר לך.

מותר לך להעביר מקביל לקטע, לדוגמה, ולהשתמש בו כדי להוכיח דברים.

זו כל הנקודה של בניית עזר....

בדקתי את ההוכחה, עשיתי את אותו הדבר על הצלע השמאלית של המשולש עם צלעות 2 ו 3 במקום 1 ו 2, הכל יוצא כמו שצריך, נתתי למחבר החידה את הפתרון שעשיתי עם 2 ו 3, התשובה נכונה, שאלתי אם זה תקף גם למקרה של 1 ו 2- אכן תקף.

תודה וכל הכבוד לכולם.

אתה לא צריך להוכיח. אתה יכול להגדיר. בגלל שהאורך 2 נתון לך, מותר לך להעתיק קטע באורך 2 ולהגיד שהוא ניצב. כל עוד מדובר בתכונה גיאומטרית אחת בלבד- מותר לך.

נכון, זה מה שאני עשיתי. מה ש-TeaTime עשה זה בנייה באמצעות המעגלים (בנייה אחרת, שבה הזווית בין שני הקטעים באורך 2 היא לא 90 מעלות לפי הגדרה, אלא צריך להוכיח את זה).

אכן, זה מחליף הוכחה אחת באחרת. אינטואטיבית (לדעתי), הבניה שלי יותר פשוטה כי אפשר לדמיין ויזואלית שלוקחים את המשולש ומסובבים אותו (ככה למעשה ציירתי את הבניה) ואז העובדה שהזוית היא 90 מעלות היא טריויאלית.

בכל מקרה, סמנטיקה. חידה חמודה, שצריך לחשוב (ליטרלי) מחוץ לקופסא בשבילה.

יהיו עוד לא מעט כאלו בעתיד. אתם רוצים שאני אעלה?

קיבלתי 2 חידות אתגר שכאלו, אחת עם משולש ואחת שהעליתי עם הריבוע. את המשולש, שדי דומה לזה (קטעים באורכים 3-4-5 , משולש שווה צלעות וצריך למצוא זוית בין הקטעים) הצלחתי לפתור בעצמי, את הריבוע, כאמור, נתקעתי באמצע. עשיתי את הבניה של 2 בניצב ולא הצלחתי לסגור ולהוכיח שזה 1- תודה לכל מי שהראה לי למה המשולשים חופפים.

אישית, זו הפעם הראשונה בחיים שמישהו הצליח לגרום לי להתעניין בגיאומטריה ולעסוק בזה בזמני החופשי...

גיאומטריה זה תחום אדיר. כל הקסם של הוכחות מתמטיות, באריזה שכל אחד יכול להבין, לדמיין, ולצייר.

ועם 4 אקסיומות פשוטות ביותר ועוד אחת קצת פחות...