לפני שלמדתי את העקרון הזה לעומק, שמעתי שהוא מהווה אקסיומה.

היום לאחר שלמדתי אותו באינפי ניתנה לו הוכחה. עכשיו אני לא מצליח לתפוס את זה או שצריך אקסיומה או שלא צריך, אז יכול להיות שהאקסיומה מסתתרת בין השורות של ההוכחה אז אתן בקצרה את הדרך שסללה את ההוכחה:

מגדירים מספרים ממשיים R [מספיק להגיד שR שדה סדור, השלמות לא חשובה כאן].

לאחר מכן, מגדירים קבוצה אינדוקטיבית:

תת קבוצה בR ,תקרא אינדוקטיבית אם אפס הוא איבר שלה ובעלת התכונה שאם x הוא איבר שלה אז גם x+1 הוא איבר שלה.

עכשיו ניתן להגדיר פורמלית את N קבוצת המספרים הטבעיים:

קבוצת המספרים הטבעיים מורכת מאיברים ששיכים לכל קבוצה אינדוקטיבית.

מכאן קל להוכיח שכל תת קבוצה אינדוקטיבית בN היא N.

עכשיו אפשר להוכיח את עקרון האינדוקציה:

תהי טענה P(n) a התלויה בn. ותהי I קבוצת המספרים הטבעיים עבורה הטענה מתקיימת, ולכן היא תת קבוצה של N.

עכשיו כל הדרך של הוכחה באינדוקציה זה להראות שהקבוצה I אינדוקטיבית! אבל היא תת קבוצה של N ולכן I=N וזה אומר בדיוק שהטענה מתקיימת לכל n טבעי.

עברתי על זה פעמים רבות ולא מצאתי רובד אקסיומטי, אז האם עומדת מאחורי העקרון אקסיומה או שאקסיומות השדה הסדור מספיקות??

תודה רבה מראש

עקרון האינדוקציה מסתמך על אקסיומת הקבוצה האינסופית. אקסיומת הקבוצה האינסופית קובעת שקיימת קבוצה אינדוקטיבית כמו שתיארת. ברגע שמניחים שקיימת כזו קבוצה, אפשר להוכיח את עקרון האינדוקציה, וזהו.

מה זו אקסיומת השדה הסדור?

המספרים הטבעיים מגודרים כשדה סדור שלם.

את אקסיומות השדה אני מאמין שאתה מכיר, כדי שהוא יהיה סדור יש להוסיף עוד שלוש אקסיומות [למשל שדה מספרים המרוכבים אינו סדור].

האקסיומות הן:

שדה F יקרא סדור אמ"ם:

קיימת תת קבוצה [ממש] P בעלת התכונה שאם x,y בP אז גם (1)המכפלה (2)והסכום שלהם בP.

(3)לכל x בF מתקיימת אחת ורק אחת מן האפשרוייות הבאות [טריכוטומיה] x בP, מינוס x בP, או שx שווה 0.

לענינינו,

אם הבנתי אותך נכון, אי אפשר להוכיח שקיימת קבוצה אינדוקטיבית בR?

המלאכה לא נראית אינטואיטיבית כ"כ קשה (כלומר אני יכול לתת בקלות תיאור של קבוצה אינדוקטיבית), אך האם פורמלית זה בלתי אפשרי?

תודה רבה

אתה יכול להוכיח שקיימת קבוצה אינדוקטיבית ב-R, רק אם בכלל אתה מוכיח שקיימת הקבוצה R.

קיומה של הקבוצה R מתבסס על זה שבכלל קיימות קבוצות אינסופיות.

(את המספרים הממשיים מגדירים באמצעות חתכי דדקינד, שאותם מגדירים באמצעות הרציונאליים, שאותם מגדירים באמצעות השלמים וכו').

אצלנו בקורס, הגדרנו את R כשדה סדור (ראה הודעה קודמת) שלם (= בעל התכונה שלכל תת קבוצה חסומה מלעיל בR יש חסם עליון)...

עכשיו שמתי לב שבכלל לא הוכחנו את קיומה של הקבוצה.

האם הקיום הזה דורש אקסיומה?

אשמח אם תראה את סלילת הדרך להוכחה (וגם להוספת האקסיומה) שבאמת קיימת הקבוצה R (במונחים של שדה סדור ושלם), כי המונחים שהזכרת לא נלמדו אצלינו באינפי [בכל זאת הכוונה בקורס היתה לתת מבוא קל לתורת המספרים] .

תודה

עריכה, אם אתה יכול לעזור לי בבעיה הדי פשוטה הבאה אודה לך...

להוכיח באמצעות אקסיומות השדה הסדור ובאינדוקציה שאם

0<=x<y

אז גם

x^n<y^n

לכל n טבעי.

(כאן ההגדרה של חזקה היא זו הרקוסיבית למעריך טבעי).

אני פשוט לא מצליח לעשות זאת! הבעיה שלי היא לעשות את המעבר האינטואיטיבי הבא מהאקסיומות:

x^(n+1)<x*y^n<y*y^n

החלק השמאלי נובע מהנחת האינדקוציה והעובדה שאפשר להכפיל את האי שיוויון בx.

הערה: מסמנים a>b אם a-b בקבוצה P [זו מההודעה הקודמת שלי].

[בכל זאת הכוונה בקורס היתה לתת מבוא קל לתורת המספרים] .

אתה לא מתכוון תורת הקבוצות? תורת המספרים בעיקר מתעסקת עם מספרים שלמים (לא רק, אבל בעיקר).

בכל מקרה, אני לא ממש מכיר את אקסיומת השדה הסדור ולא למדתי אותה (לא למדנו את זה כשלמדתי אינפי) אז יהיה קשה לי לעזור לך שם...

קיבלנו גם מבוא לתורת הקבוצות.

כדי להתחיל לדבר על דברים יותר מתקדמים במתמטיקה, צריך לריך קודם להגיד מהוא מספר. [יכול להיות ש"תורת המספרים" זה לא שם התחום, בכל זאת התכוונתי לתחום שמגדיר מהם מספרים וכו'].

דוגמא לכך היא להוכיח אתהתכנסות הסדרה ההרמונית והוכחת משפט ערך הביניים , לא ניתן לעשות זאת ללא אקסיומת החסם העליון כמו כן ללא סדר אי אפשר להגיד ש1+1 שונה מ0...

היה גם קצת מבוא ללוגיקה השבוע, ואני לא מצליח לפתור את שתי התרגילים הבאים ואשמח אם תעזור לי בהם:

מצא את השלילה של הטענות:

1) לכל n,m שלמים, n>=m או

-n>=-m

2) לכל n טבעי קיימים a,b כך ש b<n , a>1 ו n=ab.

כמו כן את השלילה הבאה אני מניח שהצלחתי אך אינני בטוח במאת האחוזים:

הטענה:

קיים מספר ממשי L כך שלכל e>0 קיים d>0 המקיים שאם abs(x-17)<d אז abs(f(x)-L)<e [זה בעצם גבול אבל עדיין לא למדנו את זה..]

השלילה שהצלחתי לחשוב עליה:

לכל מספר ממשי L קיים e>0 כל שלכל d>0 קיים x המקיים: abs(x-17)<d וגם abs(f(x)-L)>=e

תודה ענקית לך על העזרה.

אם תסדר את אי השוויונים הנתונים אוכל לעזור לך בדיוק

את השלילה עשית נכון ( בעיקרון הופכים כל "קיים" ל-"לכל" וכל "לכל" ל-"קיים" ומשנים את הטענה הסופית)

לגבי האי שוויון שיש להוכיח באינדוקציה ובאמצעות אקסיומות השדה הסדור (שמפורטות באחת ההודעות שלי בתארד):

תריך להוכיח שאם:

0<=x<y

כלומר לX גדול שווה מאפס ולY הגדול מX.

להוכיח ש x^n<y^n

מהנחת האינדוקציה:

x^n<y^n

אם נכפיל את שני האגפים בx (בגלל שהוא חיובי אפשר לעשות את זה כי ע"פ הגדרת הסימן גדול, y^n-x^n איבר בP וגם x איבר בP ולכן ניתן להעביר אגף ולחזור שוב פעם להגדרת הגדול) נקבל ש:

x*x^n<x*y^n

עכשיו אינטואיטיבית ברור שאם נגדיל את אגף ימין, כלומר "נחמיר" עם האי שיוויון ונרשון במקום x*y^n את y*y^n נקבל את הנדרש...

אבל את המעבר האינטואיטיבי הזה אני לא מצליח לקבל מן האקסיומות...

ומה לגבי השלילות?

לגבי הראשונה, ע"פ התבנית שהבאת אמור לצאת:

קיימים n,m שלמים כך ש n<m או

-n<-m

???

אבל מה שעשינו זה החלפנו את הסימן של האי שיוויון ומהסימטריה [אין חשיבות לM או N] זה נשאר כמעט אותו דבר , הלא כן?

תודה