שאלה על משוואות מתמטיות, ועל תוכנות שמציירות את הגרפים שלהן.

[The Ghost]

כמו שאנחנו יודעים מספר הפתרונות שיש למשווה תלוי בחזקה הכי גבוה של המשוואה. כלומר שלמשוואה לינארית יש פתרון אחד,למשווה ריבועית יש שני פתרון וכך הלאה. משוואה לינארית וריבועית הן משוואות הנפתרות בקלות. לפי מה שהבנתי יש גם נוסחאות למשוואות בשלישית וברביעית. השאלה שלי היא איך אפשר לפתור פולינומים בעלי חזקות גבוהות יותר? האם יש איזו שיטה כללית שאפשר לפתור בעזרתה משוואה מכל מעלה?

בקשר לתוכנות, איך התוכנה יודעת למצוא נק' מינימום ומקסימום ואת כל הנתונים הדרושים כדי לצייר את הגרף, במיוחד במשוואות מרובי פתרונות?

אני מבין שאפשר לצייר את הגרף ע"י הצבה פשוטה של X במשוואה וקבלת הY ואז לציר את הקוארדינטות, אבל האם אפשר לקבל ישירות את נקודות המינימום/מקסימום?

[TeaTime]

מעבר לחמש אין פיתרון אנלטי (כלומר נוסחא מדויקת). יש שיטת קירובים שנותנת פיתרון מדויק כרצונך (כלומר אפשר להגיע לפתרון עם כמה מקומות אחרי הנקודה שתרצה, אבל לעולם לא לפתרון המדויק עצמו)

[QuAKeR_996]

מינימום ומקסימום ?? מה הבעייה למחשב לעשות נגזרות ואינטגרלים ? יש לי מחשבון מדעי שכמובן הוא בהרבה יותר חלש והוא מסוגל לעשות כל נגזרת ואינטגרל שתיתן לו.

ולגבי משוואות עם X^3 ומעלה יש שיטה שדומה לחילוק עם שארית. כרגע אני בשלבים להבין אותה היא לא קשה אגב. כשאני ימצא מדריך מתאים אני אשים פה.

[tmpusr]

תנסה את SPEQ - חינמית, קטנטונת ללא התקנה.

זה לא MATLAB אבל היא מעולה...

http://www.speqmath.com/

[The Ghost]

אני מבין שיש תוכנות שעושות את זה וגם שלמחשב אין בעיה לעשות את זה.. השאלה היא איך?

[Boomerang]

מינימום ומקסימום ?? מה הבעייה למחשב לעשות נגזרות ואינטגרלים ? יש לי מחשבון מדעי שכמובן הוא בהרבה יותר חלש והוא מסוגל לעשות כל נגזרת ואינטגרל שתיתן לו.

נראה לי שאתה מתכוון ללחשב נגזרת/אינטגרל.

הפתרון שם הוא ע"י קירובים (לא חסרות שיטות).

יש תוכנות כמו Mathematica ו- Maple שיודעות לעשות גם חישובים סימבוליים (כלומר הפונקציות יכולות להכיל פרמטרים), ולהוציא גם אינטגרלים לא מסוימים.

הן עושות את זה לרוב ע"י הצבות והחלפות שהן מנסות לעשות על שהן מוצאות משהו ש"עובד".

[The Ghost]

איפה אני יכול למצוא הסבר על שיטות פתרון כאלה, ועד כמה זה מסובך?

[tmpusr]

תוכנה חינמית ללא התקנה שיודעת לעבוד עם משוואות פרמטריות:

http://www.eigenmath.net/

ועוד חינמית אבל מסובכת יותר

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac.html

[The Ghost]

כמו שכבר ציינתי אינני זקוק לתוכנה שיודעת לחשב משוואות מסוג זה.. מעניינת אותי השיטה למציאת פתרונות בפולינומים מחזקות גבוהות יחסית.

[Holy]

מוצאים נקודה חיובית ונקודה שלילית (בדרך כלל מתחילים מפלוס אינסוף מול מינוס אינסוף) ומתקרבים משני הצדדים עד שמוצאים חיתוך (הפונקציה רציפה ולכן אם יש נקודה חיובית ונקודה שלילית איפשהו באמצע זה יחתוך את ציר X)

[The Ghost]

כן השיטה הזאת מובנת מאליה.. עוד בתחילת הת'רד ציינתי אותה, וכמובן שבן אדם לא יכול לחשב בשיטה הזאת פונקציות בזמן סביר. זו אמנם שיטה למציאת הנקודות, אבל זה לא מה שהתכוונתי אליו, הכוונה שלי היא אל שיטה כללית שנותנת לך את הפתרון המדויק. למשל, כאשר אתה מציב את המקדמים של משוואה ריבועית בתוך הנוסחא המתאימה ומקבל את שני הפתרונות.

אני שוב שואל אם יש שיטה שתוכל לספק לי פתרונות דומים?

[Boomerang]

אם אני זוכר נכון, אז הוכח שלא קיימת נוסחא פרמטרית כללית למציאת שורשי פולינום ממעלה 4 ומעלה.

[Holography]

http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Solvable_quintics

[Cyb3r]

http://www.1728.com/cubic2.htm

מעלה שלישית

http://www.1728.com/quartic2.htm

מעלה רביעית

אלו שיטות ידניות

נוסחאות כלליות:

http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html

מעלה רביעית (ראה הוזהרת)

http://planetmath.org/encyclopedia/CubicFormula.html

מעלה שלישית (שוב, ראה הוזהרת)

i מסמל את היחידה המרוכבת שורש מינוס אחד.

[Boomerang]

http://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Solvable_quintics

נו, אז הייתי קרוב. יש נוסחא כללית למעלה 4,

הוכח שלא קיימת נוסחא כללית למעלה חמישית.