עבור לתוכן

צריך עזרה באינטגרציה...

Featured Replies

פורסם

אני צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית על [a,b] אז לכל אפסילון חיובי קיימת פונקציה g רציפה על [a,b] כך ש

g(x)<=f(x)

לכל x בקטע [a,b], המקיימת שהאינטגרל של f מa עד b פחות האינטגרל של g מa עד b קטן מאפסילון.

עם פונקציית מדרגות זה טריוואלי אך כמובן שהיא לא רציפה... לחבר את המדרגות לא עוזר כאשר הפונקציה קעורה... יש למשהו רעיון לפונקציה רציפה כזו???

תודה מראש

פורסם

זה במתמטיקה? כמה יחידות? סתם מתעניין וסליחה אם הפחתי בך תקוות שווא לתשובה..

פורסם

נראה לי שזה חומר של אוניברסיטה. אינפי או משהו דומה.

פורסם

אינפי 1 בעברית (רמה של מתמטיקאים או משו) אם אני זוכר נכון. פשוט תענוג, מומלץ לכל בן אדם שמעוניין לאבד את השפיות שלו :smile1:

בכל מקרה, אני אחרי חדוא 1 ואני חייב לציין שאין לי מושג איך עושים את זה ;D

למה פונ' בסגנון של של x^2 ו-2x^2 לא מקיימות את זה?

פורסם

F אינטגרבילית -> רציפה למקוטעין. בכל החלקים הרציפים, g=f. בנקודות אי הרציפות, מחברים לינארית בין נק' אי הרציפות בצד שבו g<f (כלומר מימין לאי הרציפות אם זו מדרגה חיובית, ומשמאל אם היא שלילית). ניתן לקבוע בקלות Delta (פונקציה של אפסילון) בנקודה בה מחברים את אי הרציפות בין g(x) לg(x+-delta) כך שהפרש האינטגרלים יהיה קטן מאפסילון. אם מספר אי נקודות הרציפות הינו סופי, זה טריוויאלי, אחרת צריך אולי עוד התחכמות.

פורסם
  • מחבר

אינפי 1 בעברית (רמה של מתמטיקאים או משו) אם אני זוכר נכון. פשוט תענוג, מומלץ לכל בן אדם שמעוניין לאבד את השפיות שלו :smile1:

בכל מקרה, אני אחרי חדוא 1 ואני חייב לציין שאין לי מושג איך עושים את זה ;D

למה פונ' בסגנון של של x^2 ו-2x^2 לא מקיימות את זה?

אתה זוכר נכון. וזו דווקא שאלה שנחשבת מעניינת ושימושית (למש"ל בשיטות נומריות, מה תעשה אם תהיה במדבר ותצתרך לחשב אינטגרל מבלי שמחשב נמצא באמתחתך?!?!) ולא שאלה תיאורטית טהורה.

אני יודע שלכל אפסילון חיובי קיימת פונקציית מדרגות המקיימת את הנדרש.

ויזואלית, אם נתבונן במדרגה ה i ית (שהיא בקטע [Xi-1,Xi]) ניתן לבנות פרבולה שתשיק למדרגה (גובה המדרגה הוא האינפימום של f על הקטע, וקיים כזה כי f אינטגרבילית) בקצה השמאלי של הקטע ותעבור דרך קצות הקטע. לבנות משוואה של פרבולה iית כזו זה סרט אלגברי בפני עצמו...עוד סרט אלגברי זה להוכיח ריגורוזית כי כי בקטע הi הנ"ל פונקציית המדרגות קטנה ממש מהפרבולה, ולכן אם פונקציית המדרגות היא Si והפרבולה היא Gi אזי f-Gi<f-Si ולכן (מאריטמטיקה של אינטגרלים) האינטגרל בקטע של f-GI קטן ממש מהאינטגרל של f-Si שקטן ממש מאפסילון. מש"ל. זאת נראית הוכחה, אך איך לעזאזל אני מוכיח שכזו פרבולה מפלצתית תמיד קטנה מf בקטע הנ"ל???

יש אולי מנוס אחר?.

תודה מראש לכולם.

F אינטגרבילית -> רציפה למקוטעין. בכל החלקים הרציפים, g=f. בנקודות אי הרציפות, מחברים לינארית בין נק' אי הרציפות בצד שבו g<f (כלומר מימין לאי הרציפות אם זו מדרגה חיובית, ומשמאל אם היא שלילית). ניתן לקבוע בקלות Delta (פונקציה של אפסילון) בנקודה בה מחברים את אי הרציפות בין g(x) לg(x+-delta) כך שהפרש האינטגרלים יהיה קטן מאפסילון. אם מספר אי נקודות הרציפות הינו סופי, זה טריוויאלי, אחרת צריך אולי עוד התחכמות.

אתה בטוח שקיים המשפט המסומן? לא למדנו אותו מה שאומר שאם אני רוצה לקבל נק' על השאלה עליי להוכיח אותו. מה שלמדנו זה ההפך, פונקציה רציפה למקוטעין על קטע וחסומה אינטגרבילית. איך מוכיחים את המשפט (אם קיים)?

עריכה- המשפט לא נכון, הוכחה: נניח בשלילה שהוא נכון, נוכיח ביזע שפונקציית רימן אינטגרבילית, אך לא רציפה למקוטעין שכן בכל נק' רציונלית אין היא רציפה, אך הרציונליים צפופים! ולכן בכל קטע יהיו אינסוף נק' אי רציפות, סתירה => מש"ל.

פורסם

מאשר את קיום המשפט, פונקציה אינטגרבילית חייבת להיות רציפה, או רציפה למקוטעין (עם אי רציפות נקודתית או קפיצה) כדי שיהיה אפשר לעשות אינטגרל.

פורסם
  • מחבר

^^^

מה שאמרת לא נכון לא רק כל הפונקצייות היפות אינטגרביליות , ראה עריכה.

הנה פונקציית רימן 800px-Dirichlet_Popcorn_Plot_on_0_to_1.png

בקטע (0,1) מכוערת ככל שתהיה, היא אינטגרבילית דארבו( לכן גם ורימן).

פורסם

אוקי, האמת שעשיתי חדוא 1ת שזה למהנדסים, על דארבו כמעט ולא למדנו, וגם איני זוכר טוב את החומר

אבל מה שאני אומר בזה אני בטוח (תראה אולי בויקיפדיה). יכולים להיות 3 מצבים

פונקציה רציפה-אינטגרבילית

פונקציה לא רציפה במספר סופי של נקודות (יכול להיות שזאת פונקציית רימן, לא מכיר). ז"א שיש נקודות\קטעים מפוזרים. והיא עדיין נחשבת לאינטגרבילית.

מצב שלישי כשהפונקציה בורחת לאינסוף או משהו, אז היא לא אינטגרבילית.

בכל מקרה, אני לא יודע את "הבשר" של המשפט הזה, אבל אני בטוח שהוא קיים

פורסם
  • מחבר

אולי לא הבנתם אותי, אני אשלול את המשפט בשלבים. המשפט: "כל פונקציה אינטגרבילית רציפה למקוטעין".

כדי לשלול אותו, עליי למצוא פונקציה לא רציפה למקוטעין, (כלומר בעלת אינסוף נק' אי רציפות) אינטגרבילית על קטע כלשהו.

וידוע ש:

1) פונקציית רימן לא רציפה בכל נק' רציונלית.

2) בכל קטע לא מנוון יש אינסוף מספרים רציונליים.

מסקנה: יש לפונקציית רימן אינסוף נק' אי רציפות (בכל קטע לא מנוון שלא תבחר).

ידוע שפונקציית רימן אינטגרבילית.

סתירה למשפט.

אגב, אם לא למדתם דארבו, זה אומר שלמדתם את רימן? הרבה יותר מסובך להוכיח משפטים עם רימן... אנחנו למדנו את דארבו הוכחנו משפטים ואז הוכחנו את השקילות שלו לרימן.. (כמובן שהאינטואיציה מאחורי רימן הרבה יותר שימושית.. במעבדות ספיסיקה למשל.. תמיד דוגמים, אף אחד לא מחפש חסמים אינפימומים וספרימומים לשטחים...)

פורסם

המשפט הוא הפוך, כלומר אם F רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית, זה לא אמ"מ.

ארכיון

דיון זה הועבר לארכיון ולא ניתן להוסיף בו תגובות חדשות.

דיונים חדשים