יש את הפולינם

p(x)= x^4+mx+n

השאלה:

כמה שורשים לכל היותר יש לפולינום? נמק

צריך לנמק את זה ע"פ משפט רול, מישהו יודע מה הנימוק?

אני לא זוכר מה משפט רול אומר, אבל לפולינום יש תמיד מספר שורשים(מדומים או ממשיים) כערך החזקה הגבוהה ביותר(קרי 4 בפולינום שהצגת).

אני לא סגור בוודאות אם מותר לך להשתמש בדברים שהשתמשתי כאן (מבחינת כרונולוגיית נושאים נלמדים), אבל עד כמה שאני זוכר אפשר לעשות כך:

מכיוון שהפולינום הנ"ל רציף וגזיר לכל קטע סגור שלא תבחר מותר לגזור ולקבל 4x^3+m. באותו אופן גם הפולינום הנ"ל גזיר ורציף בכל קטע סגור ולכן מותר לגזור ולקבל 12x^2. כעת קל לראות שלמשוואה הריבועית שורש אחד בלבד בנקודה 0,0 ולכן לפונק' מהמעלה השלישית לכל היותר 2 שורשים (לפי רול). נניח שיש לה שני שורשים. נבדוק את גבולות הפונקציה בשאיפה לאינסוף ולמינוס אינסוף, מחישוב הגבול ניתן לראות שכש-x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף, וכש-x שואף למינוס אינסוף גם הפונקציה תשאף למינוס אינסוף. לפי הגבולות הנ"ל ולפי משפט ערך הביניים יש לפונקציה לפחות שורש אחד. מכיוון שהנחנו 2 שורשים (נסמנם l,k) אז בין l,k (קטע סופי) הפונקצ' מעל ציר x - ושאר הפונק' תחתיו, או ההיפך (בין השורשים הפונק' מתחת לציר ושאר הפונק' מעליו) וזאת בניגוד לבדיקת הגבולות על פיו קיים קטע אינסופי מעל ציר x וקטע אינסופי מתחת לציר x, ולכן לפונק' מהמעלה השלישית שורש אחד בלבד, ועל פי משפט רול לפונק' המקורית (מהמעלה הרביעית) לכל היותר שני שורשים.

4 פתרונות למשוואה.

לא זוכר רול. אני זוכר רק לגרנג'.

בהצלחה.

chenrp ו- UnsignedInteger, לטענתכם מספר השורשים המקסימלי של פולינום מהצורה הנ"ל היא 4. אני מסכים שבאופן הכללי ביותר עבור הצורה:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e זה נכון, אבל האם עבור הצורה x^4+mx+n? אם כן אז צריכה להיות לפחות דוגמה אחת השייכת לקבוצת הפולינומים עם 4 שורשים, אשר אינה ריקה, לטענתכם. מכירים דוגמה לאחת כזאת?

אופיר, אתה מתכוון ללפחות 2 שורשים שונים?

לכל פולינום צריך להיות מספר פתרונות (שורשים) על פי מספר החזקה הכי גבוהה בפולינום.

השורשים יכולים להיות זהים, ז"א יכולים להיות 4 פתרונות שארבעתם 0 לדוגמא

לא, אני מתכוון למקסימום שני פתרונות (שונים או לא שונים), ואינני מסכים לטענה:

לכל פולינום צריך להיות מספר פתרונות (שורשים) על פי מספר החזקה הכי גבוהה בפולינום.

עד כמה שאני זוכר (זה לא היה כזה מזמן) בקורסי החדו"א לא עוסקים במרוכבים, ולכן A-V התייחס לשורשים ממשיים.

כמו כן A-V הציג משפחה מסוימת של פולינומים מהמעלה הרביעית, לא פולינום כללי מהמעלה הרביעית.

אתן דוגמא למשפחת של פולינומים מהמעלה השנייה לצורך המחשה: x^2+m^2+1. לפולינום הנ"ל ניתן לומר בוודאות שאין שורשים (m כמובן פרמטר), והוא אכן מגדיר משפחה ולא פולינום ספציפי מהמעלה השנייה, והרי דוגמא לקבוצת פולינומים מהמעלה השנייה ללא שני שורשים כפי שטענת שאמורים להיות בכל מקרה.

ואומר שוב, לכל הטוען שאמורים להיות 4 שורשים, תספק דוגמה בודדת שתשתייך למשפחה שהגדיר A-V כדי להוכיח שקיימים מקסימום 4 שורשים במקרה הנ"ל.

יכול להיות ששורש מסויים קיים פעמים.

וציינתי מצב בו השורשים יכולים להיות מרוכבים. במקרה של הדוגמא האחרונה שנתת הם -

+-i

(m^2+1)^0.5

אם m=0 אז 2 השורשים זהים. אחרת, הם שונים.

שוב , בחדו"א לא מדברים על מספרים מרוכבים ולכן דיברת על מצב שאיננו רלוונטי.

מה גם שאני בטוח ש-A-V לא ישאל שאלה טריביאלית כל כך כמו כמה מקסימום שורשים לפולינום ממעלה כלשהי (כולל מספרים מרוכבים), שהרי ברור שגודל המעלה כמספר השורשים המקסימלי, את זה כל בוגר בגרות במתמטיקה אמור לדעת (לפחות אלו שלומדים מרוכבים בתיכון), קל וחומר סטודנט לחדו"א (שבטח גם לומד אלגברה במקביל, שם במהלך שני השיעורים הראשונים לומדים את כל נושא המרוכבים, וקצת מעבר ממה שנלמד בתיכון).

ולכן גם הדוגמא של המשוואה הריבועית (עם השורשים המרוכבים) הייתה מיותרת לחלוטין, בוודאי למשתתפי הדיון הנוכחי. אבל זה בטח נבע מהעובדה שסיימת את לימודיך לפני די הרבה זמן...

חח אחלה אופיר, אם לא מדובר בשורשים מורכבים אז אתה כנראה צודק , עדיין לא לקחתי את הקורס של חדוא אז אני לא יודע בדיוק אם לאשר את התשובה שלך או לא חח